application

[inviteb3540c06]

bonsoir tous le monde ;

j'ai besoin d'un coup de main pour l'exo suivant :

Montrer que l’application f : R2 -> R2 définie par f (x, y) = (x - y , 2x -3y) est bijective et
calculer sa fonction réciproque.

merci
cdlt
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[Calvert]

Salut!

Tu peux vérifier que les dimensions de tes ensembles de départ et d'arrivée sont égale. Si de plus le noyau de ton application est le point 0 seulement, alors ton application est bijective.

[invite3bc71fae]

Il faut d'abord dire que tu te trouves en présence d'un homomorphisme d'espace vectoriel de R^2 dans R^2.(c'est à dire une application linéaire.)

Après, ça dépend des théorèmes que tu as sous la main.
(rem: ici on est en présence d'une application définie d'un endomorphisme)

[inviteb3540c06]

bonjour

peut-on répondre à la question en montrant que l'application est injective et surjective puis calculer l'application réciproque de manière algébrique ?

merci
cdlt

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3540c06]

soit (x,y) de R2 et (x',y') de R2 tel que (x,y)différent(x',y') on a f(x,y) différent def(x',y') donc f est injective

[invitedf667161]

bonjour

peut-on répondre à la question en montrant que l'application est injective et surjective puis calculer l'application réciproque de manière algébrique ?

merci
cdlt

Oui on peut le faire.

Il suffit même de résoudre un système 2x2 et de montrer que la solution est unique.

[inviteb3540c06]

comment montrer que l'application est surjective ?

[inviteaf1870ed]

En fait si tu montres que le système a une solution unique, tu démontres la bijectivité et tu calcules la fonction réciproque en même temps.

[inviteb3540c06]

encore une question,

comment démontre-t-on que l'application est linéaire ?

merci

[Calvert]

Il faut montrer que f(x+y) = f(x) + f(y) et que f(ax) = af(x).

[inviteb3540c06]

f (x,y) = (x - y , 2x -3y)

j'ai du mal a calculer f(x+y) !

merci de m'éclairer

[invitedf667161]

f (x,y) = (x - y , 2x -3y)

j'ai du mal a calculer f(x+y) !

merci de m'éclairer

Houlala, je crois que tu as besoin de relire calmement les définitions de ton cours.

Ici il te faut calculer des trucs du genre f( (x,y) + (x',y') )..

[inviteb3540c06]

doit je démonter que :

f( (x,y) + (x',y') ) = f(x,y) + f(x',y') ?

[invitedf667161]

Il manquera la propriété de multiplication pour un scalaire pour montrer que f est linéaire.

Encore une fois, je t'invite fortement à revoir tes définitions. Ce n'est pas en venant les demander sur ce forum que tu comprendras ce qu'elles signifient.

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde



de est linéaire ssi + = + pour tout et .

avec et .

En faisant les calculs je trouve effectivement qu'il y a égalité entre les 2 membres donc je conclut à la linéarité de , mais est ce que la définition citée est juste d'une part et suffisante d'autre part ? ou manque-t-il des éléments à cette définition pour prouver la linéarité de .

merci
cordialement

[Calvert]

Non, ta définition suffit à montrer la linéarité de ton application.

[inviteb3540c06]

bonsoir

tous le monde est-il de l'avis de Calvert ? quand à moi j'ai des doutes

[inviteb3540c06]

je plaisante,je n'ai aucun doute

merci
cdlt