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application



  1. #1
    poinserré

    Question application


    ------

    bonsoir tous le monde ;

    j'ai besoin d'un coup de main pour l'exo suivant :

    Montrer que l’application f : R2 -> R2 définie par f (x, y) = (x - y , 2x -3y) est bijective et
    calculer sa fonction réciproque.

    merci
    cdlt

    -----

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  3. #2
    Calvert

    Re : application

    Salut!

    Tu peux vérifier que les dimensions de tes ensembles de départ et d'arrivée sont égale. Si de plus le noyau de ton application est le point 0 seulement, alors ton application est bijective.

  4. #3
    doryphore

    Re : application

    Il faut d'abord dire que tu te trouves en présence d'un homomorphisme d'espace vectoriel de R^2 dans R^2.(c'est à dire une application linéaire.)

    Après, ça dépend des théorèmes que tu as sous la main.
    (rem: ici on est en présence d'une application définie d'un endomorphisme)
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  5. #4
    poinserré

    Re : application

    bonjour

    peut-on répondre à la question en montrant que l'application est injective et surjective puis calculer l'application réciproque de manière algébrique ?

    merci
    cdlt

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    poinserré

    Re : application

    soit (x,y) de R2 et (x',y') de R2 tel que (x,y)différent(x',y') on a f(x,y) différent def(x',y') donc f est injective

  8. #6
    GuYem

    Re : application

    Citation Envoyé par poinserré Voir le message
    bonjour

    peut-on répondre à la question en montrant que l'application est injective et surjective puis calculer l'application réciproque de manière algébrique ?

    merci
    cdlt
    Oui on peut le faire.

    Il suffit même de résoudre un système 2x2 et de montrer que la solution est unique.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    poinserré

    Re : application

    comment montrer que l'application est surjective ?

  11. #8
    ericcc

    Re : application

    En fait si tu montres que le système a une solution unique, tu démontres la bijectivité et tu calcules la fonction réciproque en même temps.

  12. #9
    poinserré

    Re : application

    encore une question,

    comment démontre-t-on que l'application est linéaire ?

    merci

  13. #10
    Calvert

    Re : application

    Il faut montrer que f(x+y) = f(x) + f(y) et que f(ax) = af(x).

  14. #11
    poinserré

    Re : application

    f (x,y) = (x - y , 2x -3y)

    j'ai du mal a calculer f(x+y) !

    merci de m'éclairer

  15. #12
    GuYem

    Re : application

    Citation Envoyé par poinserré Voir le message
    f (x,y) = (x - y , 2x -3y)

    j'ai du mal a calculer f(x+y) !

    merci de m'éclairer
    Houlala, je crois que tu as besoin de relire calmement les définitions de ton cours.

    Ici il te faut calculer des trucs du genre f( (x,y) + (x',y') )..
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    poinserré

    Re : application

    doit je démonter que :

    f( (x,y) + (x',y') ) = f(x,y) + f(x',y') ?

  18. #14
    GuYem

    Re : application

    Il manquera la propriété de multiplication pour un scalaire pour montrer que f est linéaire.

    Encore une fois, je t'invite fortement à revoir tes définitions. Ce n'est pas en venant les demander sur ce forum que tu comprendras ce qu'elles signifient.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #15
    poinserré

    Re : application

    bonjour tous le monde



    de est linéaire ssi + = + pour tout et .

    avec et .

    En faisant les calculs je trouve effectivement qu'il y a égalité entre les 2 membres donc je conclut à la linéarité de , mais est ce que la définition citée est juste d'une part et suffisante d'autre part ? ou manque-t-il des éléments à cette définition pour prouver la linéarité de .

    merci
    cordialement

  20. #16
    Calvert

    Re : application

    Non, ta définition suffit à montrer la linéarité de ton application.

  21. #17
    poinserré

    Re : application

    bonsoir

    tous le monde est-il de l'avis de Calvert ? quand à moi j'ai des doutes

  22. #18
    poinserré

    Re : application

    je plaisante,je n'ai aucun doute

    merci
    cdlt

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