Matrices et géométries

[invite468ec3f9]

Bonjour à tous,

depuis quelques temps j'essaie de faire un exercice sur les matrices , j'ai lu un peu les posts à ce sujet sur le forum et j'avoue que ca m'a aidé à mieux saisir à quoi ca sert.

Prenons le cas de deux matrices différentes A et B , 2x2 toutes les deux.
Le produit AB n'est pas commutatif, il suffit de faire le calcul pour le dire.
Mais d'un point de vue de géométrie je ne vois pas pourquoi ca ne serait pas commutatif.
s'il s'agit de vecteurs, le produit scalaire est commutatif pour la multiplication donc je n'arrive pas à comprendre.
Merci d'avance à tout celui qui veut bien m'expliquer..
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[Flyingsquirrel]

Salut


Un exemple pour illustrer la non commutativité : on prend un vecteur du plan et on définit deux matrices : et .

La première matrice permet "d'étirer" le vecteur auquel elle s'applique selon l'axe des : . La seconde est la matrice d'une rotation qui fait tourner le vecteur de :

Si on applique d'abord puis :

Maintenant, on fait l'opération dans le sens inverse : on fait d'abord tourner le vecteur puis on étire :

Au final, on obtient deux vecteurs différents : est différent de et les matrices ne commutent pas.

[invite468ec3f9]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Si j'ai compris, dans le cas de l'association de transformations, on démontre la commutativité dans la multiplication n'est pas possible.
Si j'ai A= 1 2 et B= 8 3
4 5 6 -5
, que peut on alors imaginer ?

[invite9c9b9968]

Hello Lucie,

Je te vois parler de produit scalaire, mais attention ! Le produit matriciel n'a rien à voir avec un produit scalaire, puisque tu obtiens une nouvelle matrice après avoir multiplié deux matrices entre elles, alors que tu obtient un nombre après avoir fait le produit scalaire de deux vecteurs

Le produit matriciel est l'analogue de la composition de fonction : tu peux te convaincre très facilement que f o g et g o f sont deux fonctions différentes, sur des exemples très simples (prenons f x -> 2x et g : x -> x + 2 ; tu as f o g : x -> 2x + 4, g o f : x -> 2x +2 )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Si j'ai A= 1 2 et B= 8 3
4 5 6 -5
, que peut on alors imaginer ?

Si la question est de savoir si elles commutent, il faut regarder si AB=BA, en faisant le calcul.

[invite468ec3f9]

Bien sur qu'avec les calculs j'obtiens un résultat différents pour AB et BA.
Je cherchais a le prouver géométriquement.
D'autre part je cherche à trouver une opération matricielle qui inverse les coordonnées des solutions, qui transforme x en y
y x

J'ai imaginé une rotation mais cela ne marche que pour des cas particuliers...

[invitebb921944]

Bien sur qu'avec les calculs j'obtiens un résultat différents pour AB et BA

C'est loin d'être évident, je te rappelle quand même que certaines matrices commutent car tu sembles penser que AB=BA est impossible lorsque A et B sont des matrices.

D'autre part je cherche à trouver une opération matricielle qui inverse les coordonnées des solutions, qui transforme x en y
y x

Des solutions de quoi ? Si tu cherches une matrice qui transforme le vecteur (x,y) en le vecteur (y,x) je pense qu'en tatonnant 5 minutes maximum, tu devrais pouvoir y arriver. Commence par essayer avec des matrices simples avec des 1 et des 0...

[Flyingsquirrel]

Bien sur qu'avec les calculs j'obtiens un résultat différents pour AB et BA.
Je cherchais a le prouver géométriquement.

Alors là je n'ai absolument aucune idée de ce à quoi correspondent ces matrices d'un point de vue géométrique...

D'autre part je cherche à trouver une opération matricielle qui inverse les coordonnées des solutions, qui transforme x en y
y x

J'ai imaginé une rotation mais cela ne marche que pour des cas particuliers...

Ce qu'il y a de bien avec les matrice 2x2, c'est que les calculs sont plutôt simples. Si on note la matrice que tu cherches , elle vérifie
soit Il reste à trouver des coefficients qui vérifient ce système.

Edit : croisement avec Ganash

[inviteaf1870ed]

Comme te le dis Gwyddon, le produit de deux matrices correspond à la composition des applications linéaire, qui en général ne commute pas (fog est différent de gof).
Pour échanger les coordonnées en dimension 2 la matrice est
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