Bonjour,
A l'occasion d'une première étude des géométries non euclidiennes j'en suis venu à me poser la question :
Comment définir le parallélisme ? Dans le plan ou l'espace ça parait évident mais de manière générale ? Est-ce possible ?
De même pour un point ? une droite ? C'est des notions qui paraissent plus intuitives qu'autre chose mais une fois qu'on s'intéresse aux géom non euclidiennes ça paraît moins évident ...
Peut-être que je me pose des questions que je ne devrais pas.
merci
Il me semble que la définition "générale" de parallèle c'est : deux droites sont parallèles si elle se coupent à l'infini. Et dans les géométries non euclidienne, il est possible que par un point il ne passe aucune, ou une infinité de parallèle à une droite.
Envoyé par jobherzt
Dans le système Euclidien, par un point extérieur à une droite, il est existe une et une seule parallèle à cette droite (et elle ne se coupent pas, fut-ce à l'infini)
Dans la géométrie elliptique (Riemann, Poincaré), par un point extérieur à une droite, il n'est possible de tracer aucune parallèle à cette droite
Dans la géométrie hyberbolique (Lobatchewsky), par un point extérieur à une droite, il est possible de tracer une infinité de parallèle à cette droite
Bah si, justement, la seule définition généralisable est celle ci... Et elle fait parfaitement sens, dans n'importe quelle géométrie contrairement aux autres définition du parallelisme.... 2 droites parallèles dans un plan euclidien se coupent bien à l'infini (ce qui n'est, d'une certaine manière, qu'une autre facon de dire qu'elle ne se coupent pas... mais il est tout à fait possible d'introduire un point à l'infini en géométrie (voir par exemple la géométrie projective).
Je ne crois pas : deux droites sont parallèles si elles sont co-planaires et n'ont aucun point commun (définition utilisée, entre autres, par l'axiomatique de Hilbert).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bon, je précise, je pensais surtout à la géométrie projective en disant ca. Mais je maintiens à baqguette que cette définition fait sens dans le plan euclidien..
Du coup j'ai discuté avec un collègue géométre, qui m'a donné l'exemple du disque de poincaré (géométrie hyperbolique) dans lequel 2 droites qui s'intersecte à l'infini sont forcément égales....
Pour résumer, ma définition et celle de Mediat sont équivalente dans le cas du plan euclidien, mais elle ne le sont plus dans les géométrie non euclidienne. Donc à partir de la, il suffit d'en choisir une des 2 :
- soit on prend la mienne, et dans ce cas on dit de deux géodésique qui ne se coupent pas, meme à l'infini, qu'elles sont "ultra parallèle". Remarquez que dans le plan euclidien ca n'existe pas.
- soit on prend celle de Mediat, et il esmblerait que dans ce cas des geodesique qui se coupent à l'infini soient appelé "geodesique limite".
Toujours est il que l'expression "se couper à l'infini" a généralement un sens, que deux droites qui se coupent à l'infini sont forcement parallèle au sens de Mediat-Hilbert, mais que l'inverse n'est pas vrai comme le montre l'exemple du disque de Poincaré...
Bonjour,
Personnellement, j'aurais dit qu'en géométrie projective toutes les droites sont sécantes et que par conséquent les parallèles n'existent tout simplement pas !
Que ce soit à l'infini ou pas à l'infini, dans le cadre euclidien je ne peut concevoir de droites parallèles qui se coupent.
J'ai peut être tort, mais il me semble que le glissement des axiomes de la projectice dans le plan euclidien n'est peut être pas ... le bon plan.
Amicalement
merci pour vos réponses je vais songer à ça (j'ai un exposé sur les géométries non euclidiennes en préparation)
merci
Bizzare, je ne recois pas de mail quand un message est posté... bref...
Effectivement, en géométrie projective toutes les droites sont secantes, c'est même un de ses intérets. Mais ca n'empeche pas du tout d'avoir des droites parallèles ! Il suffit d'adopter une definition consistante avec ce qu'on veut obtenir (typiquement la satisfaction de certains axiomes, ou meme simplement retrouver la notion "intuitive") et tout marche bien
De la meme maniere, on peut considérer que dans le plan euclidien, "se couper à l'infini" est par definition synonyme de "ne pas se couper", ou considérer un espace complété comme il faut en construisant un infini "autour" du plan... Mais en général tout le monde se comprend bien meme quand on touche à l'infini...
La encore cela permet essentiellement de garder une coherence entre differents contexte, ca ne revient pas du tout a "plaquer du projectif" et ca fait autant que je sache parfaitement sens...
Bonjour, je me permets d'en rajouter une couche avec une nouvelle question sur ce sujet. Dans un espace euclidien, le parallélisme peut être vu comme une relation d'équivalence particulière dont les classes définissent les directions. Existe-t-il quelque chose de semblable dans le cas non-euclidien ?
En géométrie hyperbolique : non car le parallélisme n'est pas une relation d'équivalence (pas de transitivité).
En géométrie elliptique : oui, mais ce n'est pas une relation intéressante car chaque classe ne contient qu'une seule droite.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci Mediat ! Et au fait, est-ce que l'on peut définir une relation d'équivalence intéressante sur les droites de ces géométries ?
