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Application linéaire -> Noyau et Image



  1. #1
    Orbix

    Application linéaire -> Noyau et Image


    ------

    Bonjour,

    Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

    Voici l'énoncé :
    f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

    1) Déterminer leur noyau et leur image


    en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


    4x - 2y = 0
    et
    6x - 3y = 0

    Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

    pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

    Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci !

    -----

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  3. #2
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    LE noyau d'une application lineaire est un sous espace vectoriel (ici un sous espace vectoriel de ).
    Comme tu l'as ecrit (x,y) est dans le noyau ssi y=2x donc (x,y)=(x,2x)=x*(1,2) est dans le noyau pour tout x dans . Le noyau est donc de dimension 1 engendré par le vecteur (1,2) : Ker(f1)=Vect((1,2))
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  4. #3
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    Merci,

    donc avec la même méthode on devrait trouver pour f2 :

    Ker(f2)=Vect((0,0)) car il faut que x et y soit nul afin de vérifier :

    5x 2y = 0
    et
    -4x +1y = 0

    Sinon quelle est la méthode à suivre pour déterminer le noyau de f1 et f2 ?

    Encore merci, ca me rassure un peu dans ce que j'ai pu faire.

  5. #4
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    Oui sauf que pour f2, Vect((0,0))=(0,0) on dit alors que f2 est injective...
    Comment ça le noyau de f1 et f2 ? c'est fait non ?
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  6. #5
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    pardon je voulais dire l'image de f1 et f2

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    ba pour f2 c'est facile puisqu'elle est injective en dimension finie cela eut dire qu'elle est aussi surjective donc
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

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  10. #7
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    En ce qui concerne f1, puisque dim(Ker(f1))=1 on a nécessairement dim(Im(f1))=1

    (4x-2y;6x-3y)=(4x-2y)*(1;6/4) ...
    Dernière modification par tize ; 24/09/2006 à 12h07.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  11. #8
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    ok , tu en déduis ca car :

    dim(Ker(f1) + dim(f) = dim E

    dim E = 2, dim(Ker(f1) = 1 donc dim(f) = 1

    C'est ca ?

    On est obligé de passer par la dimension de l'image pour la déterminer ?

  12. #9
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    non on est pas obligé du tout, on peut faire directement
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  13. #10
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    Excuse moi encore mais je n'ai pas compris comment tu es arrivé à ca :

    (4x-2y;6x-3y)=(4x-2y)*(1;6/4) ...
    les valeurs (1;6/4) correspondent aux valeurs de x et y ?

  14. #11
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image


    (4x-2y) peut prendre n'importe quelle valeur dans donc
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  15. #12
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    Merci,

    donc la méthode pour trouver une image d'une application linéaire c'est de trouver un coefficient (ici un vecteur) qui multiplie l'ensemble R ?

    On pourrait le calculer pour f2 sans passer par les propriétés que tu as évoquées ? (que nous avons pas vu encore)

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  17. #13
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    ici oui car l'image est de dimension 1 mais cela peut être une combinaison lineaire de plusieurs vecteurs si la dimension est > 1
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  18. #14
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    oki ,

    Je commence à comprendre un peu tout ca... mais est ce qu'il n'y a pas une autre démonstration pour l'image de f2 sans passer par "injective" et "surjective" qui ne me parlent pas beaucoup :/

  19. #15
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image


    avec donc
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  20. #16
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    j'ai un peu du mal à suivre donc en fait le résultat de Im(f2) c'est un vecteur composé de deux vecteurs (5,-4) et (2,1) ?

    Je croyais que c'étais l'ensemble R²

  21. #17
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    c'est pas un vecteur, c'est toutes les combinaisons lineaire possible de ces deux vecteurs, mais il sont libres et forment donc une base, ça fait donc
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  22. #18
    Orbix

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    merci,

    Pour finir, j'ai une autre proposition pour Im f1 :

    Im f1={(X,Y)/(X=2(x-2y),Y=3(x-2y) (x,y)E} c'est une droite vectorielle engendrée par v (2,3)

    T'en penses quoi ?

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  24. #19
    tize

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    Oui, c'est très bien aussi, je vois que tu as compris
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  25. #20
    espoir-1-2

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    [QUOTE=Orbix;773888]Bonjour,

    Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

    Voici l'énoncé :
    f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

    1) Déterminer leur noyau et leur image


    en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


    4x - 2y = 0
    et
    6x - 3y = 0

    Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

    pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

    Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci ![/QUOTE

    regarde: noyau de f=ker f
    alors: ker f1=(x;y)/f1(x;y)=o
    c.à.dire tous les vecteurs du premier ensemble que leurs images donne des vecteurs nuls dans le 2ème ensemble.
    tu fait (4x - 2y, 6x - 3y)=o ou (0;0)
    implique que 4x-2y=0 donc y=2x
    et 6x-3y=0 meme chose

    alors noyau de f=ker f=(y;y)€R²/y€R
    c.à.dire tous le vecteurs de forme x(1;1)
    j'ai changé y par x car il symbolisent tous des scalaires quelconque.

  26. #21
    espoir-1-2

    Re : Application linéaire -> Noyau et Image

    [QUOTE=Orbix;773888]Bonjour,

    Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

    Voici l'énoncé :
    f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

    1) Déterminer leur noyau et leur image


    en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


    4x - 2y = 0
    et
    6x - 3y = 0

    Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

    pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

    Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci ![/QUOTE

    regarde: noyau de f=ker f
    alors: ker f1=(x;y)/f1(x;y)=o
    c.à.dire tous les vecteurs du premier ensemble que leurs images donne des vecteurs nuls dans le 2ème ensemble.
    tu fait (4x - 2y, 6x - 3y)=o ou (0;0)
    implique que 4x-2y=0 donc y=2x
    et 6x-3y=0 meme chose

    alors noyau de f=ker f=(x;2x)€R²/y€R
    c.à.dire tous le vecteurs de forme x(1;2) forment la famille des vecteurs noyaux, dont leurs images selon l'application f1donne 0

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