Application linéaire -> Noyau et Image

[invite2aa4320d]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

Voici l'énoncé :
f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

1) Déterminer leur noyau et leur image


en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


4x - 2y = 0
et
6x - 3y = 0

Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci !
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[inviteae1ed006]

LE noyau d'une application lineaire est un sous espace vectoriel (ici un sous espace vectoriel de ).
Comme tu l'as ecrit (x,y) est dans le noyau ssi y=2x donc (x,y)=(x,2x)=x*(1,2) est dans le noyau pour tout x dans . Le noyau est donc de dimension 1 engendré par le vecteur (1,2) : Ker(f1)=Vect((1,2))

[invite2aa4320d]

Merci,

donc avec la même méthode on devrait trouver pour f2 :

Ker(f2)=Vect((0,0)) car il faut que x et y soit nul afin de vérifier :

5x 2y = 0
et
-4x +1y = 0

Sinon quelle est la méthode à suivre pour déterminer le noyau de f1 et f2 ?

Encore merci, ca me rassure un peu dans ce que j'ai pu faire.

[inviteae1ed006]

Oui sauf que pour f2, Vect((0,0))=(0,0) on dit alors que f2 est injective...
Comment ça le noyau de f1 et f2 ? c'est fait non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2aa4320d]

pardon je voulais dire l'image de f1 et f2

[inviteae1ed006]

ba pour f2 c'est facile puisqu'elle est injective en dimension finie cela eut dire qu'elle est aussi surjective donc

[inviteae1ed006]

En ce qui concerne f1, puisque dim(Ker(f1))=1 on a nécessairement dim(Im(f1))=1

(4x-2y;6x-3y)=(4x-2y)*(1;6/4) ...

[invite2aa4320d]

ok , tu en déduis ca car :

dim(Ker(f1) + dim(f) = dim E

dim E = 2, dim(Ker(f1) = 1 donc dim(f) = 1

C'est ca ?

On est obligé de passer par la dimension de l'image pour la déterminer ?

[inviteae1ed006]

non on est pas obligé du tout, on peut faire directement

[invite2aa4320d]

Excuse moi encore mais je n'ai pas compris comment tu es arrivé à ca :

(4x-2y;6x-3y)=(4x-2y)*(1;6/4) ...

les valeurs (1;6/4) correspondent aux valeurs de x et y ?

[inviteae1ed006]

(4x-2y) peut prendre n'importe quelle valeur dans donc

[invite2aa4320d]

Merci,

donc la méthode pour trouver une image d'une application linéaire c'est de trouver un coefficient (ici un vecteur) qui multiplie l'ensemble R ?

On pourrait le calculer pour f2 sans passer par les propriétés que tu as évoquées ? (que nous avons pas vu encore)

[inviteae1ed006]

ici oui car l'image est de dimension 1 mais cela peut être une combinaison lineaire de plusieurs vecteurs si la dimension est > 1

[invite2aa4320d]

oki ,

Je commence à comprendre un peu tout ca... mais est ce qu'il n'y a pas une autre démonstration pour l'image de f2 sans passer par "injective" et "surjective" qui ne me parlent pas beaucoup :/

[inviteae1ed006]

avec donc

[invite2aa4320d]

j'ai un peu du mal à suivre donc en fait le résultat de Im(f2) c'est un vecteur composé de deux vecteurs (5,-4) et (2,1) ?

Je croyais que c'étais l'ensemble R²

[inviteae1ed006]

c'est pas un vecteur, c'est toutes les combinaisons lineaire possible de ces deux vecteurs, mais il sont libres et forment donc une base, ça fait donc

[invite2aa4320d]

merci,

Pour finir, j'ai une autre proposition pour Im f1 :

Im f1={(X,Y)/(X=2(x-2y),Y=3(x-2y) (x,y)E} c'est une droite vectorielle engendrée par v (2,3)

T'en penses quoi ?

[inviteae1ed006]

Oui, c'est très bien aussi, je vois que tu as compris

[invite5bdc3e43]

[QUOTE=Orbix;773888]Bonjour,

Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

Voici l'énoncé :
f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

1) Déterminer leur noyau et leur image


en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


4x - 2y = 0
et
6x - 3y = 0

Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci ![/QUOTE

regarde: noyau de f=ker f
alors: ker f1=(x;y)/f1(x;y)=o
c.à.dire tous les vecteurs du premier ensemble que leurs images donne des vecteurs nuls dans le 2ème ensemble.
tu fait (4x - 2y, 6x - 3y)=o ou (0;0)
implique que 4x-2y=0 donc y=2x
et 6x-3y=0 meme chose

alors noyau de f=ker f=(y;y)€R²/y€R
c.à.dire tous le vecteurs de forme x(1;1)
j'ai changé y par x car il symbolisent tous des scalaires quelconque.

[invite5bdc3e43]

[QUOTE=Orbix;773888]Bonjour,

Je bloque sur un exercice où il faut que je détermine le noyau et l'image d'une application linéaire mais je n'ai eu aucun cours la dessus et je bloque.

Voici l'énoncé :
f1(x,y) = (4x - 2y, 6x - 3y) et f2(x,y) = (5x + 2y, -4x + y)

1) Déterminer leur noyau et leur image


en cherchant sur le net des informations concernant le noyau, j'ai abouti à ce raisonnement (système) pour f1 :


4x - 2y = 0
et
6x - 3y = 0

Ce qui fait y=2x mais après je ne vois pas ce que je dois en faire pour avoir le noyau (je ne sais même pas sous quelle forme un noyau se réprésente (vecteur ?))

pour l'image je n'ai trouvé aucune information...

Si quelqu'un peut m'aider je lui en serais très reconnaissant, Merci ![/QUOTE

regarde: noyau de f=ker f
alors: ker f1=(x;y)/f1(x;y)=o
c.à.dire tous les vecteurs du premier ensemble que leurs images donne des vecteurs nuls dans le 2ème ensemble.
tu fait (4x - 2y, 6x - 3y)=o ou (0;0)
implique que 4x-2y=0 donc y=2x
et 6x-3y=0 meme chose

alors noyau de f=ker f=(x;2x)€R²/y€R
c.à.dire tous le vecteurs de forme x(1;2) forment la famille des vecteurs noyaux, dont leurs images selon l'application f1donne 0