Prouver qu'un ensemble est un espace vectoriel

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'un petit conseil de méthodologie sur les espaces vectoriels :

Par exemple, nous devons démontrer que R est un espace vectoriel sur Q en utilisant la définition d'un espace vectoriel.

La première étape serait de montrer que R est un groupe abélien, puis de montrer plusieurs (quatres) propriétés d'application K*R dans R.

Ces à propos de ces dernières démonstration que j'aurais besoin d'une aide méthodologique : Comment démontrer par exemple que ?

Parce que prendre un exemple ne serait à mon avis pas très approprié (sauf si on voulait démontrer que E n'est pas un espace vectoriel, et dans ce cas on donnerait un contre exemple).

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[Bleyblue]

Salut,

Je pense que tu peux sans problème utiliser le fait que :

a(b + c) = ab + ac = (b + c)a

pour tout a,b,c réels (et donc en particulier rationnels)

C'est assez fondamental et si tu veux le redémontrer il faudrait revenir à la (laquelle ? ) définition de nombre réel (trop de chipotage )

[invite9c9b9968]

Tu utilises les propriétés que tu connais déjà sur R en tant que corps, et sachant que Q est inclu dans R, tu n'as aucun souci à démontrer les propriétés que tu cites

Au fait, petite note : on dit (R,+) est abélien (toujours préciser la loi utilisée)

[Seirios]

Donc on utilise les propriétés déjà connues des corps en question...

Merci à vous deux, je pense avoir compris
Phys2

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

Donc on utilise les propriétés déjà connues des corps en question...

Merci à vous deux, je pense avoir compris
Phys2

Oui, mais non attention, ici c'est un cas très particulier : est un sous-corps de c'est pour ça que c'est très facile ici.

La méthode générale est de revenir à la définition de l'ensemble dont on veut démontrer que c'est un espace vectoriel (ici c'était évident à cause de ce que je viens d'écrire, mais ça ne l'est pas forcément). En gros, c'est au cas par cas.