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[topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites



  1. #1
    Ekinoks2

    [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites


    ------

    Bonjour,
    Je suis en revision pour les partiels de Fac et je viens de m'apercevoir qu'il y a une démonstration que je ne comprends pas du tout.

    Pour prouver qu'un ensemble est fermé, mon cours dit :
    F est fermé si et seulement si toute suite (Xn;Yn) de F qui converge est telle que Lim(Xn,Yn) € F

    L'exemple est :
    D d'équation X+Y=1 est t'il fermé ?
    Oui, car si une suite (Xn,Yn) d'éléments de D converge vers (a,b), on a :
    quelque soit n € IN , Xn + Yn = 1
    en passant à la limite on en déduit a+b=1 et donc (a,b) € D

    Ce que je ne comprends pas c'est que quelque soit l'équation que je prends, j'arrive toujours à la conclusion que l'ensemble est fermé...
    Par exemple, si je modifie leur exemple et que je remplace le = par un <, D devrais étre ouvert... or, si je continue leur démonstration avec ce changement, rien ne change...

    Merci pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    fderwelt

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Citation Envoyé par Ekinoks2
    Bonjour,
    Je suis en revision pour les partiels de Fac et je viens de m'apercevoir qu'il y a une démonstration que je ne comprends pas du tout.

    Pour prouver qu'un ensemble est fermé, mon cours dit :
    F est fermé si et seulement si toute suite (Xn;Yn) de F qui converge est telle que Lim(Xn,Yn) € F

    L'exemple est :
    D d'équation X+Y=1 est t'il fermé ?
    Oui, car si une suite (Xn,Yn) d'éléments de D converge vers (a,b), on a :
    quelque soit n € IN , Xn + Yn = 1
    en passant à la limite on en déduit a+b=1 et donc (a,b) € D

    Ce que je ne comprends pas c'est que quelque soit l'équation que je prends, j'arrive toujours à la conclusion que l'ensemble est fermé...
    Par exemple, si je modifie leur exemple et que je remplace le = par un <, D devrais étre ouvert... or, si je continue leur démonstration avec ce changement, rien ne change...

    Merci pour votre aide.

    Bonjour,

    D'une part, si tu prends une équation P(X1,...,Xn) = A avec P un polynôme, comme un polynôme est une fonction continue, l'ensemble des points qui vérifient cette équation est l'image réciproque d'un fermé, donc fermé .

    Si par contre tu prends une inégalité stricte, ce n'est plus forcément vrai: tu peux très bien avoir Xn < 1 pour tout n, et lim Xn = 1. Par exemple, Xn = 1 - 1/n.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    Ekinoks2

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Merci pour ta réponse =)

    Effectivement ta méthode est plus simple...

    Pour l'inégalité stricte, je suis tout à fait d'accord avec toi. Intuitivement si on a une inégalité stricte telle que Xn < 1 pour tout n la limite peut tout à fait être égale à 1.
    Par contre dans la démonstration de mon cours, que j'ai donnée au début, je ne vois pas où cela intervient vu que a est b sont inconnues... comment savoir si (a,b) € D ?
    Dans sa démonstration, il y a marqué :
    a+b=1 et donc (a,b) € D
    Cela me semble pas évident ...

  5. #4
    Gwyddon

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    (a,b) ont beau être inconnues, tu as montré par continuité qu'ils étaient liés par a+b = 1 ; or c'est exactement la condition nécessaire et suffisante pour qu'un couple (a,b) soit élément de D => (a,b) est donc dans D
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ekinoks2

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    ok... mais alors pourquoi ca ne marcherais pas pour a+b<1
    On montre aussi que (a,b) est lié par a+b < 1 ...

    Ce que je dis est forcement faux car a+b<1 est fermé mais je ne vois pas pourquoi ?

  8. #6
    Gwyddon

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Tu n'as pas bien lu ce que t'a dit fderwelt

    Les inégalités strictes ne passent pas à la limite : il est faux de conclure de Xn + Yn < 1 que lim Xn + lim Yn < 1 (quand ces limites existent...)

    On ne peut qu'affirmer que
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Ekinoks2

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    HA !!!!! d'accord !
    Merci beaucoup pour votre aide !

  11. #8
    fderwelt

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Citation Envoyé par Ekinoks2
    ok... mais alors pourquoi ca ne marcherais pas pour a+b<1
    On montre aussi que (a,b) est lié par a+b < 1 ...

    Ce que je dis est forcement faux car a+b<1 est fermé mais je ne vois pas pourquoi ?
    Rebonjour,

    ... sauf que {(a,b) € R² | a+b < 1} n'est pas fermé...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  12. #9
    romaissa

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Bonjour,
    Juste un petit detail, un fermé A contient sa fermeture(cloture), et donc X+Y<1 ne contient pas sa fermeture.
    PS:
    1- L'ensemble des points d'adherences de A s'appelle la fermeture ou la clotureou encore l'adherence de A.
    2- on appelle point d'adherence de A tout point x tel que pour tout voisinage de x noté V, l'intersection de A et V est non vide.

  13. #10
    doudache

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    Salut romaissa !

    On dit plutôt "adhérence" que "clotûre". Mais le terme anglais est "closure".

  14. #11
    Ekinoks2

    Re : [topologie] Montrer qu'un ensemble est fermé à l'aide de suites

    fderwelt> oui exacte :^/ j'ai confondu ...

    romaissa> merci pour ces précisions ! =)

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