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Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé



  1. #1
    Bleyblue

    Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé


    ------

    Bonjour,

    Nous avons reçu comme définition au cours :

    "Un sous ensemble de IR est ouvert s'il ne comprend aucun point de son bord, fermé s'il contient entièrement son bord"

    Pourriez-vous m'expliquez comment il se fait que l'ensemble vide est à la fois ouvert et fermé ?

    Déja j'ai du mal à déterminer le bord de cet ensemble.
    C'est quoi donc d'après vous ? IR tout entier (étant donné que tout sous ensemble contient ...) ?

    merci

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Salut.

    Le bord du vide c'est le vide.
    Toutes les définitions "alternatives" des ouverts et fermés devraient dire explicitement que le vide et la partie entière sont à la fois ouvertes et fermées ; pour éviter ce genre de questions que tu te poses et qui sont bien légitimes.

    pour faire les choses rigoureusement ici il faudrait déjà savoir quelle définition on t'as donnée du bord! Parce que normalement le bord c'est la fermeture moins l'intérieur... on tourne en rond.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Quinto

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Je trouve que c'est foireux comme définition, parce qu'il faut savoir ce que c'est que le bord, et c'est encore moins trivial de définir le bord que les ouverts et les fermés...

  5. #4
    GuYem

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    +1 avec toi Quinto.

    je crois sérieusement que les enseignants qui doivent faire de la topo en premier cycle doivent être bien em****és par l'abstraction de la chose et ne savent pas trop comment faire pour aborder ça de manière claire. D'où la cinquantiane de définition plus ou moins équivalentes qu'on rencontre par-ci par-là et qui déroutent certainement...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doryphore

    Thumbs down Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Je pense que celui qui a choisi cette définition définit les intervalles de R comme étant l'ensemble des x compris entre a et b deux réels avec a<b.
    Donc il n'y a pas d'incompatibilité mathématique. J'ai en revanche toujours critiqué cette définition quand je préparais le CAPES car elle ne colle pas à la définition de connexité dans R et le fait que Bleyblue ait été perturbé prouve bien qu'elle n'a aucn intérêt pédagogique comme je n'avait céssé de le dire !!!
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  8. #6
    GuYem

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    C'est quoi le problème avec la connexité ici Doryphore?

    Le pauvre blue qui va voir que sa définition est litigieuse va s'en arracher les cheveux. Courage Blue!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    doryphore

    Smile Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Simplement que l'ensemble des intervalles de R est strictement inclus dans l'ensemble des parties connexes, il ne manque que le pauvre ensemble vide perdu tout seul dans la nature et le pauvre singleton, je l'avais oublié, celui-là...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    doryphore

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Je m'aperçoit que j'ai dévié du sujet, là...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  12. #9
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    En tout cas je crois que tout le monde est d'accord pour trouver cette définition foireuse
    En plus je trouve assez dangereux d'aborder la topologie en se restreignant à R qui a beaucoup trop de propriétés que l'on risque de vouloir étendre aux autres ensembles ensuite. On prend aussi le risque de donner des définitions qui ne sont valables que dans R. Alors que c'est toute la beauté de la topologie, de partir des hypothèses minimales pour bien faire ressortir les mécanismes qui lient les différents concepts.

    Question pour Bleyblue: comment votre prof vous a-t'il défini le bord d'une partie de R ?

  13. #10
    GuYem

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Tu as raison Matthias c'est bète de commencer par R. Cependant imagine-toi en premier cycle, tu n'as travaillé que sur R ou sur C et on te lance la topologie générale à la tête... Pas évident. Et pourtant la topologie est indispensable à pleins de choses qu'on voit avant de voir la vraie topologie.
    Enfin bref, pas facile tout ça.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Oui, mais pourquoi ne pas commencer directement dans Rn ? Au moins on n'a pas d'intervalles, la notion de boule ouverte reste très intuitive, et on est pas tenté de donner des définitions bizarres qui ne s'appliqueront plus quand on passe aux espaces métriques en général (je ne parle pas de topologie pure). Un des seuls problèmes qui restent avec Rn est que les compacts sont exactement les fermés bornés (pas mal de gens ont du mal à se sortir ça de la tête d'ailleurs).

  15. #12
    Quinto

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Salut,
    même R^n n'est pas indispensable, une fois que l'on a vu R^2, on a presque tout vu (petit problème évidemment pour la simple connexité, le plan moins une droite est disconnexe, l'espace moins une droite est uniquement multiplement connexe (ie non simplement connexe), exemple important à visualiser)

    Citation Envoyé par matthias
    Un des seuls problèmes qui restent avec Rn est que les compacts sont exactement les fermés bornés (pas mal de gens ont du mal à se sortir ça de la tête d'ailleurs).
    Surtout que c'est assez simple finalement de voir que c'est faux en dimension infinie.

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  17. #13
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Oui c'est vrai que R2 suffit à la limite.
    Pour les fermés bornés non compacts, on peut évidemment penser au théorème de Riesz, mais en ce cas il faut au minimum faire de la topo sur les espaces vectoriels normés de manière générale et plus sur Rn.
    Comme ça ne présente pas plus de difficulté, autant commencer directement sur des ev normés quelconques donc

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par Quinto
    Je trouve que c'est foireux comme définition, parce qu'il faut savoir ce que c'est que le bord,
    Citation Envoyé par GuYem
    +1 avec toi Quinto.

    je crois sérieusement que les enseignants qui doivent faire de la topo en premier cycle doivent être bien em****és par l'abstraction de la chose et ne savent pas trop comment faire pour aborder ça de manière claire. D'où la cinquantiane de définition plus ou moins équivalentes qu'on rencontre par-ci par-là et qui déroutent certainement...
    En fait on nous a bien entendut dabord définit le bord (avant de nous donner une définition qui le fait intervenir ça vaut mieux )

    Sinon merci pour toutes vos réponses, je vais lire tout ça

  19. #15
    Quinto

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Oui mais on est tous impatient de savoir ce 'est cette fameuse définition du bord justement.
    A+

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Ah oui ok donc voilà :


    Soit X un sous-ensemble de IR
    Soit CX = IR\X
    Un point p de IR appartient au bord de X s'il satisfait aux conditions suivantes

    1)

    2)

    Geométriquement, p est un point de la frontière de X si tout intervalle ] p - , p + [ contient à la fois un point de X et un point hors de X
    J'ai tout simplement pas réfléchit en disant que IR était le bord de l'ensemble vide ...

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Sinon pour réagire un peu à vos messages :

    Il s'agit d'un sous chapitre intitulé "Eléments de topologie de IR" du chapitre sur les suites.
    C'est assez court en fait, il ne contient que quelques théorèmes et définitions (d'un bord, d'un ouvert, d'un fermé, de l'intérieur, de la fermeture, d'un compact, d'un connexe par arcs)

    Ce n'est qu'une introduction, nous aurons un autre chapitre uniquement consacré à la topologie plus tard

    merci

  22. #18
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Effectivement la proposition 1 correspond bien à p appartient à l'adhérence (ferméture) de X et la proposition 2 correspond à p n'appartient pas à l'intérieur (sauf que tu as mis un q à la place du r mais c'est pas très grave).

    En ce cas saurais tu montrer ceci:
    X est ouvert si et seulement si pour tout p dans X il existe r > 0 tel que ]p-r;p+r[ est inclu dans X
    ?
    Ceci correspond plus à la définition usuelle.

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  24. #19
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par matthias
    (sauf que tu as mis un q à la place du r mais c'est pas très grave).
    Oui en effet pardon ...

    Citation Envoyé par matthias
    En ce cas saurais tu montrer ceci:
    X est ouvert si et seulement si pour tout p dans X il existe r > 0 tel que ]p-r;p+r[ est inclu dans X
    ?
    Je pourrai essayer une fois que j'aurais bien étudié, c'est encore un peu flou pour moi
    merci
    Dernière modification par Bleyblue ; 15/11/2005 à 18h46.

  25. #20
    42FiFi42

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    en fait tout simplement l'enseignant a definit la frontiere de X comme l'intersection de l'adherance de X et de l'adherence du complementaire de X dans R ce qui est tout le temps vrai dans un espace topologique (mais l'adherence donné ici est caractéristique d'un espace metrique et pa topologique donc attention quand meme)

  26. #21
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Ah, les espaces métriques nous n'avons pas encore vu en fait (donc je ne sais pas ce que c'est), ça viendra d'ici quelques temps.

    merci

  27. #22
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Dites le bord de IR \ Z c'est bien Z ? Je ne suis pas sûr ...

    Et celui-de R\Q alors ? Il s'agit de l'ensemble des irrationnels mais pour le bord je ne vois pas trop ...
    Je dirais que c'est R\Q non ?

    merci

  28. #23
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Dites le bord de IR \ Z c'est bien Z ? Je ne suis pas sûr ...
    Oui essaye de le démontrer rigoureusement à partir de la définition du bord que votre prof vous a donné, ça se fait bien.

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Et celui-de R\Q alors ? Il s'agit de l'ensemble des irrationnels mais pour le bord je ne vois pas trop ...
    Je dirais que c'est R\Q non ?
    non c'est R tout entier.

  29. #24
    Quinto

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    D'une manière générale, le bord d'un ensemble est fermé.
    Sauf erreur
    A+

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  31. #25
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par Quinto
    D'une manière générale, le bord d'un ensemble est fermé.
    Sauf erreur
    A+
    Mais comme ils ont défini les fermés à partir du bord, il vaut mieux qu'il revienne à sa définition du bord pour l'instant, non ?

    J'imagine que tu disais ça parce que tu trouves évident que R\Q n'est pas fermé, mais je ne suis pas sûr que ce soit évident pour Bleyblue, enfin pas encore

  32. #26
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Ah oui en effet car si je prend a réel :

    [a + , a - ] aussi petit que soit epsilon l'intervalle contient un irrationnel et un irrationnel ...

    merci !

  33. #27
    matthias

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah oui en effet car si je prend a réel :

    [a + , a - ] aussi petit que soit epsilon l'intervalle contient un irrationnel et un irrationnel ...
    Oui mais utilise plutôt des intervalles ouverts, comme ça on comprend tout de suite que epsilon est strictement positif. Et tu peux aussi mettre les bornes dans le bon sens (même si ce n'est pas une obligation).

  34. #28
    Bleyblue

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Ah oui mince, je n'ai pas fait attention ...

    merci

  35. #29
    Quinto

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Citation Envoyé par matthias
    Mais comme ils ont défini les fermés à partir du bord, il vaut mieux qu'il revienne à sa définition du bord pour l'instant, non ?

    J'imagine que tu disais ça parce que tu trouves évident que R\Q n'est pas fermé, mais je ne suis pas sûr que ce soit évident pour Bleyblue, enfin pas encore
    Oui en effet, mais j'avoue ne pas avoir lu sa définition du bord.
    Je m'en vais de ce pas...

  36. #30
    hubertg

    Re : Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

    Bonjour,
    J'aurais une question:
    "on dit qu'une partie A de IR est dense dans IR si pour tous réels x et y tels que x<y on a:
    ]x; y [niR =/ O/, autrement dit si la partie A rencontre tout intervalle ouvert non vide de R.
    Comment montrer R\Q est dense dans IR?

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