Topologie : Sous-ensemble ouvert et fermé

[invitec9a6cd80]

Bonjour,
J'aurais une question:
"on dit qu'une partie A de IR est dense dans IR si pour tous réels x et y tels que x<y on a:
]x; y [niR =/ O/, autrement dit si la partie A rencontre tout intervalle ouvert non vide de R.
Comment montrer R\Q est dense dans IR?

ps
montrer que tout intervalle ouvert non vide de IR contient une infinité de rationnels?
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,
J'aurais une question:
"on dit qu'une partie A de IR est dense dans IR si pour tous réels x et y tels que x<y on a:
]x; y [niR =/ O/, autrement dit si la partie A rencontre tout intervalle ouvert non vide de R.
Comment montrer R\Q est dense dans IR?

Bonjour,

C'est une question intéressante. Ca me fait penser à un autre exo...

Soit A un sous groupe fermé de R. Montrer que A est de la forme aZ, avec a>0, ou A = R.

Du coup, si je considère l'adhérence du groupe A = Pi Z + Z, c'est R ! A est donc dense dans R. Soit alors un ouvert I= ]b,c[ de R. Montrons qu'il existe un irrationnel dans cet intervalle. Posons n = la partie entière de b +1. Si n>c :
Alors on sait qu'il existe un élément a de A dans ]b,c[, et il ne peut pas être entier ! Donc a s'écrit k1 + k2 Pi, avec k1 et k2 entiers et k2 non nul. Cela implique que a n'est pas rationnel, sinon Pi le serait.
Si n<c :
On fait le même raisonnement qu'avant avec ]b,n[.

J'espère avoir été clair. Tu vois aussi dans cette preuve qu'on peut prendre n'importe quel nombre p irrationnel à la place de Pi. Par exemple, . On a même une densité par des irrationnels d'une certaine forme, ce qui est plutot mieux

Ta deuxième question est en fait assez simple. Si A est une partie dense de R, et si je considère ]b,c[ un intervalle ouvert de R. Alors par densité, je peux trouver a_1 dans A et dans ]b,c[. ensuite, dans ]b,a_1[, qui est ouvert, je peux recommencer et trouver a_2 dans A et dans ]b,a_1[. On itère la construction. Ca donne une infinité d'élements dans ]b,c[. D'ailleurs la réciproque est vraie. Si A est une partie de R telle que l'intersection avec tout intervalle ouvert est non vide, alors A est dense, et c'est même la définition.

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rvz

[matthias]

On peut faire plus simple quand même si on veut se contenter de répondre à la question

Si on sait déjà que Q est dense dans R, alors pour x < y, l'intervalle contient au moins un rationnel q. On en déduit que l'irrationnel appartient à l'intervalle ]x;y[. R\Q est donc dense dans R.

Si on a pas encore démontré que Q était dense dans R, on peut le faire en considérant la suite qui ne prend que des valeurs rationnelles et qui appartiennent à ]x;y[ à partir d'un certain rang.

[invite6b1e2c2e]

Moi qui essayais de motiver la démonstration de Tout sous groupe fermé de R est aZ ou R...

Evidemment, ta preuve est bien plus simple, mais la mienne peut s'interpréter géométriquement :
Tout sous groupe discret de R^d (réseau) est de dimension inférieure à d.
La contrapposée est : Tout sous groupe de R^d de dimension > d est dense.
Ici, j'ai fait le cas d=1. Mais je crois que ça se complique franchement dans le cas d>1 (Z-modules).

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rvz

[matthias]

Moi qui essayais de motiver la démonstration de Tout sous groupe fermé de R est aZ ou R...

Je sais bien, mais vu que hubertg dispose d'une définition de la densité spécifique à R, on peut supposer qu'il n'a pas encore vu de topologie plus générale, et peut-être pas les groupes non plus.

Sinon je préfère la formulation : tout sous-groupe additif de R est soit de la forme aZ, soit dense dans R.

[invite6b1e2c2e]

Oui, tu as tout à fait raison. J'aurais du écrire une preuve plus élémentaire. Mais bon, c'est ma manière à moi d'exciter la curiosité des petits jeunes (Et des autres, hein !)

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rvz

[inviteb47fe896]

Pourquoi l'ensemble vide est-il à la fois "ouvert" et "fermé" ?
Cela résulte de la définition de l'espace topologique par l'ensemble de ses ouverts. IL est dit que toute intersection finie d'ouverts est un ouvert ; cela reste vrai même si les ouverts sont disjoints.
Ensuite il est dit que toute réunion d'ouverts est un ouvert ; l'espace entier peut être considéré comme la réunion de ses ouverts ; alors son complémentaire, c'est à dire le vide, est un fermé.

[inviteb47fe896]

Quel est le bord du vide ?
Le bord d'un ensemble est égal à l'ensemble privé de son intérieur.
L'intérieur d'un ensemble est le plus grand ouvert contenu dans cet ensemble.
De là on peut conclure que le bord du vide est le vide

[inviteb47fe896]

"Un sous ensemble de IR est ouvert s'il ne comprend aucun point de son bord, fermé s'il contient entièrement son bord"
Le bord étant la différence entre l'ensemble et son intérieur ; et l'intérieur étant caractérisé par l'ensemble des points dont un voisinage est contenu dans l'ensemble ; nous pourrons donc affirmer que l'ensemble de tous les points intérieurs constituent un ouvert puisque celui-ci est la réunion des voisinages de chacun de ses points

[inviteb47fe896]

Parallèlement à ce qui précéde ; un ensemble est fermé s'il contient tous ses points adhérents ; un point étant adhérent à un ensemble si l'intersection de tout voisinage de ce point avec l'ensemble est différente du vide

[Quinto]

Le bord d'un ensemble est égal à l'ensemble privé de son intérieur.

Non c'est égal à sa fermeture moins son intérieur.
Par exemple [0,1] et (0,1) ont le même bord, qui est {0,1}.
Avec ta définition, le premier aurait ce bord ci, et l'autre aurait un bord vide...

[martini_bird]

Salut,

en passant, il y a une distinction entre adhérence et fermeture?

L'adhérence disons de U est constituée des points d'accumulation et la fermeture et le plus petit fermé contenant U, c'est bien ça?

[GuYem]

Je n'ai jamais entendu parler de distinction entre adhérence et fermeture ...
Les deux définitions que tu as données m'ont l'air d'être les mêmes.

[matthias]

Les deux définitions que tu as données m'ont l'air d'être les mêmes.

Si je prends E={1}, 1 n'est pas un point d'accumulation de E puisqu'il est isolé. Donc les deux définitions données par martini_bird ne sont pas les mêmes.

Pour moi adhérence = ferméture = plus petit fermé contenant l'ensemble.

[GuYem]

Ah oui il y a de quoi se tromper dans tout ça.
Cependant je suis d'accord avec toi.

fermé <=> égal à sa fermeture <=> contient tous ses points d'accumulation

j'ai bon ?

[martini_bird]

Oui c'est assez confus: en fait la question revient à se demander ce qu'est l'adhérence... Ok ce ne sont pas l'ensemble des points d'accumulations: j'aurais dû dire points adhérents (un point est adhérent à X lorsque l'intersection de tout voisinage de ce point avec X est non vide).

Mais un point isolé n'est donc pas adhérent?

[matthias]

Mais un point isolé n'est donc pas adhérent?

S'il appartient à l'ensemble, bien sûr qu'il est adhérent. Mais tout point adhérent qui n'appartient pas à l'ensemble est nécéssairement un point d'accumulation.

La différence vient du fait qu'un point a est adhérent à X si tout voisinage de a rencontre X, alors qu'un point a est un point d'accumulation de X si tout voisinage de a contient un point de X différent de a.

[martini_bird]

Merci!

Donc les notions d'adhérence et de fermeture sont a priori bien distinctes.

Mais l'adhérence est toujours identique à la fermeture, même dans le cas de topologies non séparées ou exotiques?

[matthias]

Donc les notions d'adhérence et de fermeture sont a priori bien distinctes.

Si on définit l'adhérence de X comme l'ensemble des points adhérents à X et la ferméture comme le plus petit fermé contenant X, on pourrait dire que les approches sont différentes oui. Mais je ne suis pas sûr que ce soit la raison pour laquelle les deux termes coexistent, il faudrait regarder comment, dans quel cadre et à quelle époque ils sont nés. Le terme ferméture est un peu tombé en désuétude d'ailleurs.

Mais l'adhérence est toujours identique à la fermeture, même dans le cas de topologies non séparées ou exotiques?

Oui, pour moi il n'y a pas de différence.

[matthias]

Mais un point isolé n'est donc pas adhérent?

S'il appartient à l'ensemble, bien sûr qu'il est adhérent.

Petite rectification : un point isolé d'un ensemble appartient toujours à l'ensemble donc il est toujours adhérent.

[martini_bird]

Ok merci!

Mon interrogation vient en effet du fait que les deux termes coexistent et il est assez rare qu'en maths deux mots désignent la même chose. Comme tu le dis, c'est certainement un héritage historique. A suivre donc.

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Mais l'adhérence est toujours identique à la fermeture, même dans le cas de topologies non séparées ou exotiques?

Personnellement, je te souhaite de ne jamais travailler dans des topologies qui ne sont pas Hausdorf séparées.
En fait, je pense que ce n'est pas toujours vrai dans le cas général, mais j'avoue ne pas avoir de contre-exemple sous la main. C'est un peu l'ouvert qui rend fou

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rvz

[martini_bird]

Personnellement, je te souhaite de ne jamais travailler dans des topologies qui ne sont pas Hausdorf séparées.
En fait, je pense que ce n'est pas toujours vrai dans le cas général, mais j'avoue ne pas avoir de contre-exemple sous la main. C'est un peu l'ouvert qui rend fou

__
rvz

Précisément, en géométrie algébrique il est rare que les topologies soient séparées (Zariski oblige ). Et donc pas mal de choses sont remis en question (points ouverts et même denses, etc.).

C'est pourquoi je suis désormais méfiant à propos de ces questions apparemment naïves de topologie. Si tu retrouves un contre-exemple, je suis preneur, mais il est aussi probable qu'il y ait équivalence entre les deux notions.

Cordialement.

[matthias]

En fait, je pense que ce n'est pas toujours vrai dans le cas général, mais j'avoue ne pas avoir de contre-exemple sous la main. C'est un peu l'ouvert qui rend fou

Je ne suis pas du tout un spécialiste de topologie pure et dure, mais après quelques recherches pas totalement concluantes, je n'ai trouvé que des liens qui définissent de la même manière la ferméture et l'adhérence, ou qui disent de manière un peu rapide qu'en topologie la ferméture et l'adhérence coïncident (glossaire Wikipedia).
Sinon on trouve quelques liens pas très complets sur un truc nommé prétopologie (Google : "adhérence fermeture prétopologie" pour voir les docs).

[inviteca3a9be7]

Salut,

J'ai toujours cru (et mes bouquins de topologie aussi ) qu'adhérence et fermeture c'était pareil en topo.

Les anglosaxons, qui désormais ont la main sur la terminologie en topologie, parlent de 'closure', d'où peut-être l'origine of ze problem ?

[matthias]

J'ai toujours cru (et mes bouquins de topologie aussi ) qu'adhérence et fermeture c'était pareil en topo.

Je me sens déjà moins seul

Plus sérieusement, ça doit pouvoir se démontrer relativement facilement même dans le cas d'une topologie quelconque, non ?

[inviteb47fe896]

L'intérieur d'un ensemble est le plus grand ouvert contenu dans l'ensemble ; l'adhérence est le plus petit fermé contenant cet ensemble.

[matthias]

Merci d'apporter les éclaircissements que tout le monde attendait.

[GuYem]

D'ailleurs j'ai trés souvent entendu le mot adhérence pour designer le plus petit fermé contenant la partie, et trés rarement le mot fermeture.

[inviteb47fe896]

La multiplicité des appellations pour désigner certaines notions en "mathématiques modernes" provient du fait qu'à ses débuts, la nouvelle construction était le fait de plusieurs centres de recherches isolés et que chacun choisissait son vocabulaire ; c'est au bout de quelques années que la "normalisation" s'est imposée...et encore a-t-il fallu ménager certaines susceptibilités