Exercice arithmétique niveau prépas

[mx6]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice d'arithmétique du niveau sup.
Voici l'énoncé :
1/ et sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux tels que . Démontrer que divise .
2/ Démontrer que pour tout entier naturel non nuls divise .

J'ai réussi à faire la première question sans difficultés, mais à la deuxième je bloque, je n'arrive pas à voir le lien entre la première et la seconde si y en a.
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[prgasp77]

Bonjour, il suffit de revenir à la définition de .
Et non il n'y a pas de lien évident ou utile avec la 1/

[God's Breath]

Bonjour,

1/ .
2/ .

[mx6]

Je n'ai pas particulièrement étudier les coeff binomiaux (pas encore vu en cours), mais pourquoi God's tu multiplie par n ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Je n'ai pas particulièrement étudier les coeff binomiaux (pas encore vu en cours), mais pourquoi God's tu multiplie par n ??

Le théorème de Gauss ?

[prgasp77]

Bonjour,

1/ .
2/ .

Pourquoi utiliser un théorème quand la seule définition est suffisante ?



(même si c'est astucieux je le reconnais ...)

[mx6]

Oui je l'ai utilisé pour résoudre la première question! mais la deuxieme je ne vois toujours pas....

[Arkangelsk]

Oui je l'ai utilisé pour résoudre la première question! mais la deuxieme je ne vois toujours pas....

Indication : prendre les termes à .

[prgasp77]

Je n'ai rien dit

[ericcc]

Pour le 2/ ne suffit il pas d'écrire

C_n²ⁿ=(n+1)(n+2)....2n/n!

[prgasp77]

Pour le 2/ ne suffit il pas d'écrire

C_n²ⁿ=(n+1)(n+2)....2n/n!

Et démontrer que n! ne divise pas n+1 oui.
J'en profite pour m'excuser auprès de God's Breath, l'utilisation de ce théorème (ou propriété je ne sais plus) est adapté ici; Je viens de me rendre compte que le second point de la démonstration est un poil plus long que ce que j'avais imaginé.

[prgasp77]

Désolé pour le double post.
Pour information il s'agit de démontrer que la suite



peut être définie par récurrence



et que par conséquent u_k vaut,



Mais encore une fois, ce n'est pas judicieux de faire comme ci-dessus.

[mx6]

Qui peut m'expliquer la méthode de résolution ? Je ne vois toujours pas, exusez mon manque de génie..

[prgasp77]

2/ .

transforme le membre droit de l'égalité.

[mx6]

Oui, c'était évident -_-, donc il suffit de démontrer que est un entier naturel, et c'est le cas, et vu que et sont premiers entre eux donc d'après Gauss, divise . J'étais un peu lent quand même ^^
Sinon la formule que God's Breath a employé est ce la formule de Pascal ? Ou bien une autre formule ? J'aimerai bien apprendre les petites astuces de ce genre, ça facilite la vie

[Arkangelsk]

Et quel est le quotient de la division de par ?

Sauf erreur de ma part :



A partir de là, on voit que les termes s'annihilent deux à deux ... jusqu'à un certain rang. Quelqu'un a-t-il une idée ?

[Arkangelsk]

Arg, la réponse a été donnée plus haut.

Le quotient est donc .

Pas facile à voir en déroulant le produit .

EDIT : Petit bug du forum.