Valeurs propores d'un polynome de matrice

inviteccb29071 · 28/01/2009, 08h24

Si on a une matrice A definie sur $\text{[math]}$ , une de ses valeurs propres $\text{[math]}$ et un polynome P a valeurs dans $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est valeur propre de P(A).
Mais est ce que toutes les valeurs propres de P(A) sont necessairement obtenues de cette maniere ? Il me semble que oui vu qu'on est sur $\text{[math]}$ , mais j'arrive pas a le montrer. Je n'y arrive que pour les polynomes du type $\text{[math]}$ .

Merci pour votre aide.
Mathieu

invite57a1e779 · 28/01/2009, 14h26

Il suffit de trigonaliser A pour voir que le résultat est vrai.

inviteccb29071 · 28/01/2009, 18h51

Effectivement, j'avais oublie ce petit detail sur les matrices carrees dans $\text{[math]}$ . Avec ca c'est evident...
Merci beaucoup!

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