Bonjour,
dans le cadre d'un travail sur la théorie des groupes et la théorie des nombres, on introduit le concept de Génération bornée.
On dit qu'un sous-ensemble X de Gamma génèrent bornément Gamma s'il existe r>0 tel que tout élément de Gamma peut être écrire comme un produit ("word" en anglais) de longueur \leq 0 d'élément de X U X^{-1}.
Dans le cas où X est une union finie de groupes cycliques, Gamma génère bornément X s'il existe des groupes cyliques X1, X2, ... Xr tels que Gamma=X1 X2 ... Xr.
Deux exemples sont donnés :
1) Z^{n} a une génération bornée
2)Les groupes libres non-commutatifs n'ont pas de génération bornée.
Ma question est la suivante :
1) Je ne vois pas pourquoi Z^{n} a une génération bornée. On a envie de dire que (a1,... an) = a1(1,0,...,0)+...+an(0,...,1) mais pour moi {(t,0,0,...), t \in Z} n'est pas un groupe cylique. De plus a1,...an sont arbitrairement grands et donc je ne vois pas en quoi il existe un nombre borné d'éléments dans le produit (somme).
2) J'ai un peu du mal à trouver une preuve...
Merci de votre aide, et désolé pour la longueur du post^^
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