Bonjour !
Pouvez-vous m'aider sur le problème qui suit ?
Soit K un noyau de Hilbert-Schmidt réel et symétrique. L'opérateur associé est
,
dont le noyau est K ; T est compact et symétrique.
Soient {} les vecteurs propres (avec valeurs propres ) qui diagonalisent T.
Montrer que :
a/

b/ K(x,y) ~ est l'expansion de K dans la base {}

c/ Supposons que T est un opérateur compact et symétrique. Alors T est de type Hilbert-Schmidt si et seulement si où {} sont les valeurs propres de T comptées selon leur multiplicité.

Pour a/, je sais que tend vers 0 quand k tend vers l'infini ;est-ce assez pour conclure que ?

Pour b/, je sais que K(x,y) a une expansion dans la base {} de la forme :
K(x,y) ~ où
mais je ne sais pas comment montrer que et que les indices k et l sont les mêmes.

Pour c/ une direction découle directement de a/ mais je ne sais pas comment montrer la 2ème.

Des idées ?