Orthonormalisation de Schmidt

[invitecb38b3f4]

Bonjour à tous,

Je lis dans la correction d'un exercice que si B'=(b'1, ... , b'n) est la bon obtenue par orthonormalisation de Schmidt à partir de B=(b1, ..., bn)
Alors la matrice de changement de base de B' à B est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont <b'i,bi> à la ième ligne car la base est orthonormée.

Je comprend que la matrice de passage soit triangulaire supérieure mais pour moi les coefficients de la diagonale sont tous egaux à 1 par construction...

Pouvez m'aider s'il vous plait??
Merci d'avance.
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[invitea6f35777]

Slt,

Ce que dit l'exo est exact. Il y a deux partie dans la construction, il y a d'abord l'orthogonalisation, la matrice de passage de la base orthogonalisée à la base initiale (et la matrice inverse aussi) est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. La deuxième étape est la normalisation, et après cette étape on obtient une matrice de passage triangulaire supérieur mais les coefficients diagonaux ne sont plus égaux à 1 (ils valent (b_i|b'_i) ou 1/(b_i|b'_i) suivant la matrice qu'on considère.

[invitecb38b3f4]

Bonjour,
Merci beaucoup KerLannais pour avoir repondu.

A l'aide de ton explication j'ai refais les calculs mais je trouve qu'alors les coefficients sur la diagonales sont
± racine ( <b_i,b'_i>)

J'explique comment je trouve ca j'espere que quelqu'un pourra me corriger:

Je change les notation pour plus de clarté:

E=(e_1, ... , e_p) base de depart
G=(g_1, ..., g_p) base orthoGonalisée
N=(n_1, ..., n_p) base orthoNormalisée

Alors n_i=±g_i / || g_i ||

Mais || g_i ||²= <g_i, e_i>

Donc n_i=g_i/ ±racine( <g_i, e_i> )

Merci d'avance si quelqu'un arrive à voir ce qui ne va pas.

[sylvainc2]

Les coefficients sur la diagonale sont des normes de vecteurs donc ils sont toujours > 0 (ils ne peuvent pas être zéro car ce sont des vecteurs d'une base).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6f35777]

Re,

Oui, je pense que tu as raison pour les racines carrées, mais par contre comme le dit Sylvain il n'y a pas de signe. De toute façon il suffit de le faire sur un exemple simple:


et on voit tout de suite ce qui se passe.

[invitecb38b3f4]

Re ,

Les coefficients sur la diagonale sont des normes de vecteurs donc ils sont toujours > 0 (ils ne peuvent pas être zéro car ce sont des vecteurs d'une base).

Donc ok j'enléve le ± mais vous êtes d'accord ou pas avec la racine?