Curiosité d'un produit vectoriel

[tuanou]

bonjour bonjour,

je voulais savoir pourquoi le produit vectoriel de uz avec ur dans un repere spherique donne un sin theta ...
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[KerLannais]

Slt,

Attention, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteurs et non pas un scalaire (c'est pour ça qu'il s'appelle produit vectoriel et pas produit scalaire). Pour deux vecteurs et de tu as la propriété suivante:


C'est une propriété assez facile à démontrer à partir des propriétés du produit vectoriel. D'abord on remarque qu'il suffit de démontrer le résultat pour deux vecteur unitaire, car si on arrive à le démontrer dans ce cas, on aura alors pour des vecteurs quelconques:

ce qui donne le résultat quand on multiplie à gauche et à droite par (bien entendu l'angle orienté dans le sinus est le même que les vecteurs soient normalisés ou non). Pour cette étape on a utilisé une première fois la bilinéarité du produit vectoriel. Ensuite dans le cas de vecteurs unitaires tu défini le vecteur perpendiculaire à de sorte que soit une base orthonormale directe du plan défini par et . Fais un dessin et tu verras tout de suite que la décomposition de sur cette base est donnée par:

On a alors:




On a utilisé une deuxième fois la bilinéarité du produit vectoriel. Comme le produit de deux vecteurs colinéaires est nul on a:



Dernière propriété du produit vectoriel, comme et sont orthogonaux et normés, est une base orthonormée directe et en particulier:

Ce qui achève la démonstration