Le taux de variation et nombre d'or

invite9a322bed · 17/04/2009, 12h44

Bonjour,

Je me retrouve devant un problème, le voici :

J'ai démontrer que limite en $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .

Or on sait que : $\text{[math]}$ .

Est ce que je peux déduire ou bien comment démontrer que $\text{[math]}$ est l'ensemble des termes de Fibonacci, ou bien l'ensemble des multiples des termes de Fibonacci ?

* $\text{[math]}$ Nombre d'or

**Flyingsquirrel** · 17/04/2009, 13h15

Salut,

A priori non, tu ne peux pas. Qui sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

**taladris** · 17/04/2009, 13h17

Salut!

Il n'y a pas de raison pour que ce soit vrai en général. Si tu prends par exemple, la suite (d_n) constante égale à 1, et (v_n) la suite constante égale au nombre d'or, alors la suite (U_n) vérifie la propriété que tu donnes mais n'est évidement pas la suite de Fibonacci ni un de ses multiples.

As-tu d'autres hypothèses sur ta suite?

Cordialement,
Jérôme

invite9a322bed · 17/04/2009, 13h29

Je veux démontrer que tout les nombres $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ dont les quotients partiels en fractions continues sont tous égaux à 1, sont tous les termes de la suite de Fibonacci.

Alors, j'ai pensé que si je pose

$\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ (vous voyez pourquoi j'espère).

Et quand je résous cette équation je tombe sur le nombre d'or $\text{[math]}$ (on a $\text{[math]}$ , donc l'autre racine ne convient pas).

Donc mon problème c'est de démontrer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les termes de la suite de Fibo !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Flyingsquirrel** · 17/04/2009, 14h16

Envoyé par mx6

Alors, j'ai pensé que si je pose

$\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ (vous voyez pourquoi j'espère).

En raisonnant de la même manière mais avec $\text{[math]}$ à la place de $\text{[math]}$ , tu peux montrer que les suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont identiques...

**Flyingsquirrel** · 17/04/2009, 20h32

Suite à une demande par MP, je complète le message précédent :

Par définition, de $\text{[math]}$ (=le nombre dont les $\text{[math]}$ premiers quotients partiels $\text{[math]}$ sont égaux à 1, voir l'autre fil pour les notations) on a

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

c'est-à-dire

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

et l'on pourrait généraliser afin d'exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ (c'est seulement plus compliqué à écrire

). Cela donnerait $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , ce qui nous permet de dire que la suite $\text{[math]}$ vérifie

$\text{[math]}$

Mais cela correspond à la définition (du moins, à une définition possible) de la suite $\text{[math]}$ ...

invite9a322bed · 17/04/2009, 21h42

Oki.

Donc je sais que : $\text{[math]}$ .

Mais le problème, c'est que on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc ce n'est pas plutôt avec $\text{[math]}$ qu'il faut comparer ?

**Flyingsquirrel** · 17/04/2009, 22h18

Envoyé par mx6

Mais le problème, c'est que on a : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Donc ce n'est pas plutôt avec $\text{[math]}$ qu'il faut comparer ?

L'hypothèse $\text{[math]}$ est contradictoire avec les valeurs de $\text{[math]}$ que j'ai calculées plus haut et qui sont toutes supérieures ou égales à 1. J'ai dû me planter dans la définition...

En définissant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on obtient $\text{[math]}$ et ça à l'air de coller avec ce que tu supposes puisque $\text{[math]}$ .

invite9a322bed · 17/04/2009, 22h28

Oui merci,

Mais là comment je peux démontrer que $\text{[math]}$ ? Par récurrence ?

Je voudrais que tu jettes un coup d'œil par ici

: http://forums.futura-sciences.com/ma...ffres-1-a.html

**Flyingsquirrel** · 17/04/2009, 22h40

Envoyé par mx6

Oui merci,

Mais là comment je peux démontrer que $\text{[math]}$ ? Par récurrence ?

Comment montrer que $\text{[math]}$ ?
Comme au-dessus : les suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ vérifient la même relation de récurrence et ont le même premier terme $\text{[math]}$ donc elles sont identiques. Si tu trouves que ça n'est pas assez détaillé/rigoureux tu peux utiliser la récurrence mais je trouve que ça n'apporte pas grand chose.

Envoyé par mx6

Je voudrais que tu jettes un coup d'œil par ici

: http://forums.futura-sciences.com/ma...ffres-1-a.html

J'irai voir ça demain.

Edit : « demain » commence après que je me sois levé, pas à minuit.

invite9a322bed · 17/04/2009, 22h42

Merci beaucoup pour cette précieuse aide !!!

J'attends ta réponse demain pour l'autre sujet

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