Sur une idée proposée par Michel (mmy) sur un fil en épistémologie :
Après un peu de réflexion, j'en suis arrivé à considérer cette idée sous l'angle suivant :Envoyé par Michel (mmy)
Dans ce qui suit seules sont considérées les fonctions
Soit(on pourrait même ne considérer que les fonctions positives et croissantes sur [0 ; 1])
On définit sur E une relation () par :
Quesoit une relation d'équivalence est trivial.
Soit.
Par la suite, afin d'alléger les notations, je noterai de la même façon une fonction et sa classe pour(il ne devrait pas y avoir de confusion.
On définit surune relation (
) par :
Quesoit une relation d'ordre est trivial.
Il va de soi que les fonctionsne sont pas équivalentes entre elles et que
(beaucoup d'abus d'écriture dans cette phrase mais elle doit être compréhensible néanmoins)
De plus il existe des fonctions dedont toutes les dérivées en 0 sont nulles (par exemple
, soit
une telle fonction, il est clair que pour tout n dans
:
(je déteste ces abus d'écriture )
L'idée est donc d'associer lesaux entiers (facile, je sais) et
à un infini, par exemple
.
Il apparaît tout de suite que la fonction définit parest plus "grande" (pour la relation
) que
, et qu'il est très tentant de lui associer
; d'autant plus qu'il n'est pas difficile d'envisager, à partir de
des constructions qui sont des candidats pour être associés à
, et même
.
Sauf que la fonction définit parapparaît naturellement comme associée à
(ce qui m'empêche d'aller plus loin, sauf si on peut définir tous les surréels par exemple).
En aucun cas je ne prétends que cette association est la seule, en tout cas elle ne me paraît pas apte à mapper les différentes façons qu'une fonctionpeut avoir de tendre vers 0 et les transfinis (cardinaux ou ordinaux).
Néanmoins cette voie n'est pas sans issue :
Soit(je préfère l'écrire ainsi pour les manipulations suivantes) où
.
(trivial).
Autrement ditrestreint à la famille des
(avec m et r bien choisis et muni des prédicats idoines) est un candidat pour construire un modèle non-standard de l'arithmétique de Peano (mais il n'y a que la fonction successeur et la relation d'ordre qui sont définis ici (pour la fonction successeur je ne l'ai pas fait, mais ...))
En m'excusant par avance des fautes de frappe et autres erreurs, et en re-précisant que c'est qu'un petit jeu.
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