Pour jouer avec 0 et l'infini

[Médiat]

Sur une idée proposée par Michel (mmy) sur un fil en épistémologie :

Par exemple, il n'y a pas un unique infini, mais une infinité d'infinis, alors qu'il n'y a qu'un seul 0 nombre. Mais on doit pouvoir mettre en correspondance des 0 limite avec des infinis comme limite.
Par exemple x et x² ne tende pas vers 0 de la même manière quand x tend vers 0 à droite dans les réels, et on peut être tenté d'y voir des 0 limites différents. De cette manière on se fabrique toute une série de 0 limites, ordonnés qui plus est, de fonctions strictement positives Cinfini sur R+ tendant vers 0 en 0 : les kxn, les k exp(1/xn), etc. Il me semble avoir lu quelque part qu'on peut mettre cela en relation avec les transfinis (via une congruence sur les fonctions, genre f(x)/g(x) tend vers 1 [en fait vers a ] quand x tend vers 0).

Après un peu de réflexion, j'en suis arrivé à considérer cette idée sous l'angle suivant :
Dans ce qui suit seules sont considérées les fonctions
Soit (on pourrait même ne considérer que les fonctions positives et croissantes sur [0 ; 1])
On définit sur E une relation () par :

Que soit une relation d'équivalence est trivial.
Soit .
Par la suite, afin d'alléger les notations, je noterai de la même façon une fonction et sa classe pour (il ne devrait pas y avoir de confusion.
On définit sur une relation () par :

Que soit une relation d'ordre est trivial.
Il va de soi que les fonctions ne sont pas équivalentes entre elles et que (beaucoup d'abus d'écriture dans cette phrase mais elle doit être compréhensible néanmoins)
De plus il existe des fonctions de dont toutes les dérivées en 0 sont nulles (par exemple , soit une telle fonction, il est clair que pour tout n dans :
(je déteste ces abus d'écriture )
L'idée est donc d'associer les aux entiers (facile, je sais) et à un infini, par exemple .
Il apparaît tout de suite que la fonction définit par est plus "grande" (pour la relation ) que , et qu'il est très tentant de lui associer ; d'autant plus qu'il n'est pas difficile d'envisager, à partir de des constructions qui sont des candidats pour être associés à , et même .
Sauf que la fonction définit par apparaît naturellement comme associée à (ce qui m'empêche d'aller plus loin, sauf si on peut définir tous les surréels par exemple).
En aucun cas je ne prétends que cette association est la seule, en tout cas elle ne me paraît pas apte à mapper les différentes façons qu'une fonction peut avoir de tendre vers 0 et les transfinis (cardinaux ou ordinaux).
Néanmoins cette voie n'est pas sans issue :
Soit (je préfère l'écrire ainsi pour les manipulations suivantes) où .
(trivial).
Autrement dit restreint à la famille des (avec m et r bien choisis et muni des prédicats idoines) est un candidat pour construire un modèle non-standard de l'arithmétique de Peano (mais il n'y a que la fonction successeur et la relation d'ordre qui sont définis ici (pour la fonction successeur je ne l'ai pas fait, mais ...))


En m'excusant par avance des fautes de frappe et autres erreurs, et en re-précisant que c'est qu'un petit jeu.
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[prgasp77]

Bonjour,
ça me semble très intéressant, mais il me semble qu'il y ait une petite coquille ici :

Cdlt

[Médiat]

Bonjour,
ça me semble très intéressant, mais il me semble qu'il y ait une petite coquille ici

Sans doute n'est-ce que la première (), il fallait lire



Merci