Un bourreau nommé Pn(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x^ 2^n+1)

invite3eea398e · 01/09/2009, 20h48

Bonsoir !

Voilà, je me sens un peu coupable de demander de l'aide sans en fournir (je me rattraperai, hein

)mais ce polynôme m'énerve au plus haut point. Voilà le problème :

On pose Pn(x) = (x + 1)(x²+1)(x^4+1)...(x^2^n+1)

(a) Simplifier (x − 1) P_n (x) .
(b) En déduire la forme développée de Pn (x) .
(c) En déduire que si Fn = 2^2^n + 1, Fn = F₀F₁F₂...F_n-1 + 2.

(d) En déduire que deux nombres Fn et Fp distincts sont premiers entre eux.
(e) En déduire qu’il y a un nombre infini de nombres premiers.

Où j'en suis : d'après moi, pour (a) on a (x-1)Pn(x) = (x^2^n) - 1
(b) : Euh, bon, je ne vois pas trop ce qu'ils me veulent...
(c) : Fn=(2-1)Pn(2)+2
soit Fn=(2+1)(2²+1)(2^4+1)...(2^2^n +1)+2
soit Fn=F₀F₁F₂...F_n + 2. Et là ; on peut dire

parce que j'ai très probablement fait une faute en (a), d'où l'incohérence de ma dernière réponse. L'ennui, c'est que je ne vois vraiment pas comment m'y prendre autrement. De plus, je ne suis même pas arrivée jusqu'à là toute seule (*hommages*).

Help me, Futura Sciences, you're my only hope !

invite02a73f9c · 01/09/2009, 21h05

Pour la question a)

il s'agit de $\text{[math]}$

Ensuite c'est tres simple :

$\text{[math]}$

que tu peux developper etc ...

invite899aa2b3 · 01/09/2009, 21h29

Bonjour.
Pour la a), on a $\text{[math]}$ et tu dois déduire la réponse à la question b) grâce à
$\text{[math]}$

invite3eea398e · 01/09/2009, 21h45

Merci beaucoup pour la a, je n'ai pas d'excuse -_-. Cependant, je ne comprends pas pourquoi $x^n-1 =$x-1$\sum_{k=0}^{n-1}x^k$ et encore moins à quoi cela sert dans la question (b).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite899aa2b3 · 01/09/2009, 21h49

Développe puis sert-toi de l'écriture développée pour calculer $\text{[math]}$

invite3eea398e · 01/09/2009, 22h10

Même avec ça, je ne m'en sors pas du tout. Fn=2^2^n +1 et non 2^n + 1. J'ai essayé de faire un semblant de raisonnement par analogie, mais bon... Tant pis et merci pour votre aide !

invite899aa2b3 · 01/09/2009, 22h27

Envoyé par Pyanitsa

Même avec ça, je ne m'en sors pas du tout. Fn=2^2^n +1 et non 2^n + 1. J'ai essayé de faire un semblant de raisonnement par analogie, mais bon... Tant pis et merci pour votre aide !

Voyons voir.
$\text{[math]}$ et je te laisse continuer.
Tu as trouvé quoi comme expression développée?

Un bourreau nommé Pn(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x^ 2^n+1)

Un bourreau nommé Pn(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x^ 2^n+1)

Re : Un bourreau nommé Pn(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x^ 2^n+1)

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Re : Un bourreau nommé Pn(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x^ 2^n+1)

Re : Un bourreau nommé P_n(x)=(x+1)(x²+1)(x^4+1)...(x ^ 2^n+1)

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