Pi

[invite15fac1ac]

Bonjour à tous

Existe-t-il un démonstration abordable par le commun des mortels de la constance du rapport Circonférence/Diamètre du cercle?

Merci d'avance
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[invite6754323456711]

Bonsoir,

http://dispourquoipapa.free.fr/sciences/sc0031.htm

Patrick

[invite15fac1ac]

Bonsoir,

http://dispourquoipapa.free.fr/sciences/sc0031.htm

Patrick

Merci mais je recherche une demonstration mathematique et non une approche pratique

[invite6754323456711]

Merci mais je recherche une demonstration mathematique et non une approche pratique

As-tu lu http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi ?

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Tout d'abord, comment définis-tu pi ?

[invite15fac1ac]

Tout d'abord, comment définis-tu pi ?

C'est bien pour cela que je ne parle pas de pi dans ma question, mais de la constance du rapport circonference / diametre

[breukin]

Si on définit comme le rapport de la longueur du demi-périmètre du cercle au rayon, alors :

qui est indépendant de R après changement de variable .
En fait, in fine, la question est équivalente à : pourquoi ?

[invitea0b22930]

Existe-t-il un démonstration abordable par le commun des mortels de la constance du rapport Circonférence/Diamètre du cercle?

Je dirais que cette propriété est vraie pour tout polygone régulier inscrit et ex-inscrit, elle se ramène simplement au théorème de Thalès.
Pour finir, la méthode de Pythagore consistant à encadrer la circonférence du cercle par les périmètres de polygones réguliers d'aussi près qu'on veut, donne le résultat par passage à la limite.

[invite4793db90]

Salut,

Pour finir, la méthode de Pythagore consistant à encadrer la circonférence du cercle par les périmètres de polygones réguliers d'aussi près qu'on veut, donne le résultat par passage à la limite.

Cette méthode, et la premier encadrement qui en découle () est due à Archimède.

Cordialement.

[invitea0b22930]

Cette méthode est due à Archimède.

Bien sûr martini_bird!
Désolé et merci de la rectification.

[invitea0b22930]

Shame on me!
pour avoir confondu Archimède et Pythagore (l'heure tardive, la fatigue, Altzheimer,???)
J'aime tellement ce vieil Archie que je suis allé voir sa 'pseudo' tombe à Syracuse et que j'ai écrit in memoriam une petite page html:
Archimède
Le plus étonnant dans toute cette histoire est que les calculs ont été menés avec le système gréco-latin de numération.

[Seirios]

Bonjour,

Existe-t-il un démonstration abordable par le commun des mortels de la constance du rapport Circonférence/Diamètre du cercle?

Si tu considères deux cercles C et C' concentriques (de centre O), récriproquement de rayons r et r', alors il existe une unique homothétie qui transforme C en C'. Cette homothétie est de centre O et de rapport ; tu vois donc que le rapport deux longueurs l et l' sera conservé par l'homothétie : .

[breukin]

tu vois donc

Mais c'est justement ce qu'il s'agit de démontrer, à savoir que l'homothétie conserve le rapport sur n'importe quelle nature de courbe !

[invitea0b22930]

Mais c'est justement ce qu'il s'agit de démontrer, à savoir que l'homothétie conserve le rapport sur n'importe quelle nature de courbe !

Bien sûr !

[breukin]

Le "bien sûr" se rapporte à quoi ? A l'enjeu ou à la propriété ?

Je sais bien que la propriété est vraie, et derrière, in fine, il y a de la théorie de l'intégration (car dans votre argument sur l'encadrement par des polygones, encore faut-il démontrer que la longueur de l'arc est comprise entre les longueurs des côtés, en s'abstenant de "voir" qu'ils s'approchent d'aussi près qu'on veut).

[invitea0b22930]

Le "bien sûr" se rapporte à quoi ? A l'enjeu ou à la propriété ?

A l'enjeu. Je voulais écrire simplement '+1' car tu m'as devancé de peu, mais le système m'a interdit une message si court.
Pour ce qui concerne la propriété, oui il faut bien faire appel à la théorie de la mesure, pour déjà donner un sens à l'énoncé.
Si, pour court-circuiter cette théorie on admet que dans les 'bons cas', la longueur d'un arc est la limite supérieure des longueurs des lignes polygonales passant par des points de l'arc et que le carcle est justement un de ces 'bons cas' alors 'ma' preuve est acceptable.
Sinon, il faut sauter le pas (Lebesgue and co...). Mais le P.O. demandait un truc 'simple' alors j'ai pensé pouvoir le satisfaire avec ce truc 'classique' d'Archimède.