Avis au Maître : 0!=1

[invite38a64da1]

Bien le bonjour amis mathématicien, j'ai un énorme soucis à vous présenter :

Je dois en effet démontrer que 0!=1

Malheureusement les lois mathématiques que je connais sur les factorielles ne peuvent me permettre de démontrer cette formule, or on me cesse de me dire que oui cela est possible O_o

J'aurai besoin de votre aide là , S'il vous plait
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[Arkangelsk]

"Démontrer", à partir de quelles hypothèses ?

est une convention. Pratique, qui permet de définir par récurrence la factorielle à partir du rang .

[invite38a64da1]

"Démontrer", à partir de quelles hypothèses ?

est une convention. Pratique, qui permet de définir par récurrence la factorielle à partir du rang .

à partir de rien, c'est là que c'est dure . Je sais que 0!=1 équivaut une somme de produit vide et donc égal à 0 par convention. Mais comment démontrer cette dite convention : 0!=1 lol !

Help

[Universus]

Une façon de se 'convaincre' de l'utilité de cette convention est de remarquer que :

... 5!/5 = 4! , 4!/4 = 3!, 3!/3 = 2!, 2!/2 = 1! et pourquoi pas 1!/1 = 0!

Cela prend peut-être sa plus crédible justification dans la fonction gamma définie sur les complexes à partie réelle strictement supérieure à 0 par :



De cette définition, on aboutie aux identités et . Ainsi, de la seconde identité, on obtient que si n plus grand ou égal à 1 est un nombre entier, alors . On est fortement tenté, comme je l'ai fait plus haut, d'étendre cette correspondance entre la fonction gamma et la factorielle au cas n=0, dans quel cas on aurait .

Sinon, on a . D'après cette définition (encore supposons-nous que cette égalité puisse avoir un sens), on aurait qui est un produit vide. Je ne sais pas si c'est vraiment formalisé d'une quelconque façon, mais depuis que je manipules des quantités à l'aide des notations et comme ici, quand j'arrive à un terme ayant soit-disant un terme final (ici 0) inférieur de 1 au terme initiale (ici 1), ça cachait presque toujours le fait que si j'avais écrit mes calculs explicitement (sans recours aux notations et ) j'aurais obtenu l'élément neutre de l'opération correspondante. Autrement dit, en voyant que ici que mon terme final est 0 alors que le produit devrait commencer à partir de k=1, ayant à faire à un produit, je dirais (je m'assure néanmoins que c'est correct) que j'ai à faire à l'élément neutre de la multiplication, soit 1. Bref, je dirais 0!=1.

Bon, ce que je dis ici n'est absolument pas une preuve ni une justification adéquate de pourquoi 0!=1. Il s'agit probablement d'une convention uniquement, à ceci près néanmoins que la fonction gamma nous incite grandement à considérer cette convention comme naturelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

la seule justification qui en soit vraiment une est celle qu'a donnée Universus : . La factorielle n'est en effet que la toute petite partie immergée de la fonction , et rares sont les situations où la factorielle ne peut être remplacée avantageusement par la fonction d'Euler.

Cordialement.

[invite4ef352d8]

Salut !

tous dépend de ta définition de n!

par exemple, si tu as définie n! comme étant le cardinal de l'ensemble des bijection d'un ensemble à n elements, il s'agit de prouver qu'il existe une unique application de vide dans vide et que c'est une bijection (c'est assez facile à partir de la définition d'une application...)


Martini_bird : non c'est pas la seul cf juste au dessus ^^

[invite4793db90]

Martini_bird : non c'est pas la seul cf juste au dessus ^^

Certes, et ta remarque me convient plus que celle du produit vide, mais les raisons pour lesquelles cette convention est aussi efficace sont à chercher àmha dans l'interprétation eulérienne.

Cordialement.

[breukin]

Si et sont deux ensembles finis d'entiers, on a :





Si on veut que cela fonctionne aussi avec l'ensemble vide, on en déduit qu'on doit avoir :

[breukin]

Dans la réponse précédente, les ensembles doivent être disjoints.

Et pour compléter, on définit par :



avec .

Donc .