Drapeaux

[invite18a3f84f]

Bonsoir,

Je poste ce sujet suite à un exercice d'algèbre linéaire sur les drapeaux.

Un drapeau d'ordre de E est une suite strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E telle que
{0}

(les sont en réalité des "inclus mais différent" mais je sais pas les faire avec LaTeX)

Cette définition me pose problème, j'ai du mal à me représenter ce qu'est un drapeau et à donner des exemples.

Est-ce que ça veut dire que E0 est toujours égal à {0} et que Ep est toujours égal à p ?
Le fait que la suite soit strictement croissante me gène aussi car ce n'est pas au niveau des dimensions donc comment peut-on dire qu'un espace vectoriel est "plus grand" qu'un autre ?

Par exemple, un drapeau dans K² peut-il être de la forme avec E0 = {0} , E2 = K² et E1 = une droite vectorielle quelconque, par exemple d'équation ax (a appartenant à K) ?

Merci d'avance, car je vais avoir du mal à réussir cet exercice si je ne vois pas clairement ce que me dit cette définition
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[invite14e03d2a]

Salut,

Est-ce que ça veut dire que E0 est toujours égal à {0}

Oui

Ep est toujours égal à p

Faute de frappe, non? E_p est bien toujours égal à E.

Le fait que la suite soit strictement croissante me gène aussi car ce n'est pas au niveau des dimensions donc comment peut-on dire qu'un espace vectoriel est "plus grand" qu'un autre ?

Ici, "plus grand", c'est pour l'inclusion (qui une relation d'ordre). Remarque au passage que pour un drapeau, la suite dp=dim(Ep) des dimensions des espaces Ep est strictement croissante.

Par exemple, un drapeau dans K² peut-il être de la forme avec E0 = {0} , E2 = K² et E1 = une droite vectorielle quelconque, par exemple d'équation ax (a appartenant à K) ?

Parfaitement.
Tu peux aussi facilement montrer (par exemple en utilisant la remarque précédente) que ce sont les seuls drapeaux d'ordre 2 de K².


Un exemple utile de drapeaux dans E (n=dim(E)):
Fixe une base (e_1,...,e_n) de K_n. On définit Ep par Ep=Vect(e_0,...,e_p).
Alors (Ep) est un drapeau.


Cordialement

[invite18a3f84f]

Faute de frappe, non? E_p est bien toujours égal à E.

Effectivement !

Ok je comprends mieux, merci beaucoup taladris

[inviteaeeb6d8b]

(les sont en réalité des "inclus mais différent" mais je sais pas les faire avec LaTeX)

Bonjour,

un peu tard, mais on sait jamais :

A \varsubsetneq B

EDIT : ne marche pas sur le forum...

[A voir en vidéo sur Futura]