Inégalité avec log et exponentielle

**ichigo01** · 30/11/2009, 17h59

Bonjour à tous !

on me demande dans un exercice de montrer que :

1) $exp(x) \ge 1 + x$

2) $\frac{x}{1+x} \le ln(1+x) \le x$

pour la première, j'ai appliqué le TAF sur l'intervalle [0,x] mais je tombe sur $exp(c) = \frac{exp(x) - 1}{1}$

Pourtant pour la deuxième voilà comment j'ai procédé :

je prend $f(x) = ln(1+x)$ , f continue et dérivable sur $[0,x]$ D'après le T.A.F :

$f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ avec $f(0) = 0$ et du faite que 0 < c < x on a : $\frac{1}{1+c} > \frac{1}{1+x}$ et $\frac{1}{1+c} < 1$

on obtient donc : $1\ge\frac{ln(1+x)}{x} = \frac{1}{1+c}\ge\frac{1}{1+x}$

inviteaf1870ed · 30/11/2009, 18h06

POur la 1/, appuie toi sur la convexité de l'exponentielle, ou alors étudie la fonction f(x)=exp(x)-x-1

**ichigo01** · 30/11/2009, 18h11

Envoyé par ericcc

POur la 1/, appuie toi sur la convexité de l'exponentielle, ou alors étudie la fonction f(x)=exp(x)-x-1

Je vais voir !

Merci

**ichigo01** · 30/11/2009, 18h13

c'est pas la même chose que le log , $exp(x)$ est définie sur toute R , donc quel intervalle il faut prendre ?? !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaf1870ed · 30/11/2009, 18h17

Comme l'inégalité est demandée pour tout x, il faut la montrer sur tout IR !

**ichigo01** · 30/11/2009, 18h33

Envoyé par ericcc

Comme l'inégalité est demandée pour tout x, il faut la montrer sur tout IR !

c'est pas ce que je voulais dire

je voulais savoir quel intervalle contenant le x je dois prendre sur R :

je peux procédé par $[1,x]$ pour $x\in \mathbb{R}$ et après $[x,1]$

puisque exp(1) = 0 , ce qui peut m'aider à trouver l'inégalité

inviteaf1870ed · 30/11/2009, 19h19

Première méthode : l'exponentielle est convexe, donc elle est au dessus de toutes ses tangentes. en particulier de sa tangente en 0, d'équation....y=1+x
Deuxième méthode : étudier la fonction sur IR

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