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Médiane ?



  1. #1
    tof06

    Médiane ?


    ------

    Bonjour à tous,
    Petit exo dont j'aimerais savoir si je me suis pas tromper :
    Les points A et B ainsi que la droite D sont fixés.
    Quel est le point M de la droite D qui rend minimale la valeur de MA² + MB² ?


    On place I milieu de [AB],
    MA² + MB² = vecteur(MA)² + vecteur(MB)²
    MA² + MB² = (vecteur(MI)+vecteur(IA))² + (vecteur(MI)+vecteur(IB))²
    MA² + MB² = MI² + IA² + IB² + 2vecteur(MI) . (vecteur(IA)+vecteur(IB))

    Or, I étant le milieu de [AB], IA = IB = 1/2*AB et vecteur(IA) + vecteur(IB) = Vecteur nul ;
    Par conséquent
    MA² + MB² = 2MI² + 1/2*AB²

    Pour une valeur minimal de MI, on a une valeur minimal de MA²+MB², puisque AB est fixe.

    Es-ce le résultat attendu à la question de l'exercice ? Es-ce suffisant ?
    Toute les données de l'exercice sont données en italique.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Médiane ?

    Bonsoir.

    Donc si MI=0 soit si M et I sont confondus, tu as une valeur minimale de MA²+MB² en effet.

    De mon côté, j'ai fait de manière analytique, si tu as abordé les dérivées.
    J'ai posé les points accompagnés de leurs abscisses suivants : A(a), B(b), M(x).
    On a donc I((a+b)/2) mais j'avais envie de dire qu'on aurait pu s'en passer
    J'ai posé f(x) = MA²+MB² = ...
    J'ai dérivé f(x) et calculé sa valeur annulatrice et trouvé la valeur peu surprenante de... (a+b)/2...
    Tiens tiens !
    Il te reste à montrer rapidement que la valeur annulatrice correspond bien à un minimum et pas à un maximum

    Duke.

  4. #3
    Flyingsquirrel

    Re : Médiane ?

    Duke, je crois que tu simplifies le problème. L'énoncé ne précise pas que et sont sur la droite .

  5. #4
    Duke Alchemist

    Re : Médiane ?

    Ah ouais...
    Au temps pour moi !
    Je me disais bien aussi que c'était trop facile

    tof06

    EDIT : Félicitations pour ton nouvel habit vert Flyingsquirrel

    Duke.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tof06

    Re : Médiane ?

    Sauf que MI ne prendra jamais la valeur nul d'après le schéma de mon exo. Mais sinon c'est bien çà ? Il faut placer un point I milieu de AB, et montrer que MA² +MB² déepend de la longueur de MI ?

  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Médiane ?

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    EDIT : Félicitations pour ton nouvel habit vert Flyingsquirrel
    Merci.
    Citation Envoyé par tof06 Voir le message
    Il faut placer un point I milieu de AB, et montrer que MA² +MB² déepend de la longueur de MI ?
    Oui mais l'exercice n'est pas fini. Il reste à trouver pour quelle position de la longueur est minimale.

  9. Publicité
  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Médiane ?

    Citation Envoyé par tof06 Voir le message
    ............
    Par conséquent
    MA² + MB² = 2MI² + 1/2*AB²

    Pour une valeur minimal de MI, on a une valeur minimal de MA²+MB², puisque AB est fixe.

    Es-ce le résultat attendu à la question de l'exercice ? Es-ce suffisant ?
    Toute les données de l'exercice sont données en italique.
    ben presque,
    tu as fait le plus dur.
    mais tu peux "decrire" ou doit se trouver M.
    la question étant devenue :
    soit I un point quelque part dans le plan et D une droite, ou doit se trouver M sur la droite pour avoir MI² minimum.

  11. #8
    tof06

    Re : Médiane ?

    Qu'es-ce que je peux dire de plus ? je ne connais rien, j'ai juste un schéma avec le triangle ABM, La doite D passant par M, et j'ai placer un point I milieu de AB, je ne connais aucune valeur, pas de coordonnées de point, rien. Comment en donné plus ?

  12. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Médiane ?

    quelle est la plus petite distance entre un point et une droite ?

  13. #10
    tof06

    Re : Médiane ?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    quelle est la plus petite distance entre un point et une droite ?
    ??? Je comprend pas ?

  14. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Médiane ?

    Citation Envoyé par tof06 Voir le message
    ??? Je comprend pas ?
    oublie une seconde ton triangle.
    ton equation est juste, donc il faut MI² minimum.

    tu ne crois pas que c'est quand MI et ta droite sont perpendiculaire ?
    sinon , on peut aussi le prouver par les maths, en imaginant un autre point C fixe sur la droite.

  15. #12
    Duke Alchemist

    Re : Médiane ?

    Bonsoir.

    C'est la définition même de la distance d'un point à une droite.

    Duke.

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  17. #13
    tof06

    Re : Médiane ?

    re ..
    Désolé de cette réponse tardive.

    Les notions abordés dans la définition me sont encore inconnus. Je dois m'arrêter là alors ?

  18. #14
    God's Breath

    Re : Médiane ?

    Citation Envoyé par tof06 Voir le message
    Je dois m'arrêter là alors ?
    Non, tu dois prouver que le point M est la projection orthogonale de I sur D.
    Pour tout autre point M' de D, le théorème de Pythagore dans le triangle IMM' rectangle en M permet de prouver que M'I>MI.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #15
    tof06

    Re : Médiane ?

    Bien vu :P
    Prouver le projeté orthogonal !?? je peux pas juste le supposer ? et ensuite démontrer par Pythagore que c'est la distance la plus courte ?

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