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développement en série entière d'une fonction C infini



  1. #1
    MathHerbe

    développement en série entière d'une fonction C infini


    ------

    Bonjour,

    On m'a donné deux exemples de fonctions C^infini qui ne sont pas développables en série entière mais je ne comprend pas pourquoi, voici les exemples:

    f = exp(-1/x) si x > 0
    f = 0 si x <= 0

    et

    g = exp(-1/x^2) si x > 0
    g = 0 si x = 0
    g = exp(-1/x^2) si x < 0

    Merci.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : développement en série entière d'une fonction C infini

    Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0.
    La série de Taylor en 0 est donc nulle et converge sur R vers la fonction nulle ; or les fonctions considérées ne sont identiquement nulles sur aucun voisinage de 0...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    MathHerbe

    Re : développement en série entière d'une fonction C infini

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0.
    Donc elles sont développables en série entière au voisinnage de 0 et

    f(0) = 0 + 0 + 0 ....

    ?

  5. #4
    God's Breath

    Re : développement en série entière d'une fonction C infini

    Citation Envoyé par MathHerbe Voir le message
    Donc elles sont développables en série entière au voisinnage de 0
    Un voisinage de 0 n'est pas réduit à 0...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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