développement en série entière d'une fonction C infini

[MathHerbe]

Bonjour,

On m'a donné deux exemples de fonctions C^infini qui ne sont pas développables en série entière mais je ne comprend pas pourquoi, voici les exemples:

f = exp(-1/x) si x > 0
f = 0 si x <= 0

et

g = exp(-1/x^2) si x > 0
g = 0 si x = 0
g = exp(-1/x^2) si x < 0

Merci.
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[God's Breath]

Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0.
La série de Taylor en 0 est donc nulle et converge sur R vers la fonction nulle ; or les fonctions considérées ne sont identiquement nulles sur aucun voisinage de 0...

[MathHerbe]

Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0.

Donc elles sont développables en série entière au voisinnage de 0 et

f(0) = 0 + 0 + 0 ....

?

[God's Breath]

Donc elles sont développables en série entière au voisinnage de 0

Un voisinage de 0 n'est pas réduit à 0...

[A voir en vidéo sur Futura]