Anneaux principaux

[invite7c6483e1]

Bonjour,

Est-ce qu'il SUFFIT de prouver la validité du théorème de Bezout dans un anneau unitaire commutatif intègre pour prouver que cet anneau est principal ?
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[invite14e03d2a]

Salut,

réponse rapide (donc susceptible de contenir des erreurs): le théorème de Bezout implique que tout idéal engendré par deux éléments est principal. Par récurrence, on peut en déduire que tout idéal finiment engendré est principal.
Reste le cas des idéaux infinis...

Pour trouver un contre-exemple, il faudrait trouver un anneau non noethérien (donc non principal) vérifiant la propriété de Bezout mais je n'ai pas d'idée.

Cordialement

[invite57a1e779]

Les anneaux de fonctions analytiques doivent fournir des contre-exemples.