exercices suites de la forme f(un)=un+1

[invite73e28260]

Bonjour
Je bloque sur deux exercices depuis déjà un petit bout de temps et comme on n'a pas fait d'exercices de ce type, je n'ai rien sur quoi m'appuyer.

On étudie la suite définie par u0=alpha et un+1=cos(un).

J'étudie f sur [0,pi/2]
J'ai déjà montré que f est décroissante, que f-Id est décroissante et fait le dessin.
Comme f est décroissante on sait aussi que fof est croissante.
Je dois étudier u2n et u2n+1 pour montrer que u converge mais je ne sais pas comment m'y prendre.

De plus, je n'ai pas vraiment compris ce que sont les points fixes et comment les trouver. Je sais qu'il y en a un au point d'intersection de f et x->x donc pour cos(x)-x=0 mais je ne vois pas comment le trouver.




J'ai le même genre de problèmes avec le deuxième exercice.
On étudie la suite définie par u0=alpha et un+1=1-un² sur [0,1]
f est décroissante donc fof est croissante.
Grace au dessin on voit que u diverge.
Par contre je ne sais pas comment étudier f-Id et u2n et u2n+1 encore une fois.

Par contre pour le point d'intersection de f et x->x c'est bon cette fois-ci.



Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider.
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[invitec317278e]

Salut,

comme fof est croissante, tu peux prouver que et sont monotones, et que l'une est croissante et l'autre décroissante.



n'essaie pas de donner une "vraie" expression au point fixe de cos, tu n'en trouveras pas, contente toi de le nommer alpha et de raisonner avec alpha.

[invite14e03d2a]

Pour la première suite, on peut utiliser un théorème de point fixe: si on se restreint au bon intervalle, cos est contractante. Cela doit être plus simple que d'utiliser les suites adjacentes.

Cordialement