Bonjour
Voila j'ai un exercice a faire mais je comprend rien a l'enoncé le voici
Pour tout entier naturel n, on considere la proposition Pn:<<9 divise (10puissance n) +1 >>
1.Demontrer que si Pn est vrai pour un certain n, alors Pn+1( le tout en indice) est vrai.
2.La proposition Pn est-elle vraie pour tout entier?
On a Pn= ((10^n)+1)/9
c'est une demonstration apr recurrence qu'on nous demande de faire la ?
Bel exercice
En fait le but de l'exercice consiste à bien décortiquer le principe de récurrence.
En effet, dans la récurrence, il y a deux étapes pour montrer une propriété P(n) :
_ l'initialisation : montrer que P(0) est vrai (ou P(1) si on démarre à 1, etc..)
_ l'hérédité : il s'agit de montrer que si P(n) est vrai pour un certain entier n, alors elle est vrai pour l'entier n+1.
Si ces deux points sont démontrés, la propriété P(n) est alors vraie sur N (ou pour n>=1 si on a démarré à 1 lors de l'initialisation, etc...)
Beaucoup d'élèves oublient l'initialisation et pensent que seul suffit l'hérédité (en tout cas ils oublient de démontrer l'initialisation), ce qui est incorrect et met tout le raisonnement à l'eau.
C'est comme pour une échelle : pour pouvoir la grimper, il faut savoir grimper le barreau et pouvoir passer d'un barreau à l'autre. Si on sait passer d'un barreau à l'autre, encore faut-il pouvoir déjà grimper sur le 1er barreau
Ici l'exercice te demande d'abord de prouver que l'hérédité est vraie : si je suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n, on a P(n+1) vraie.
Ensuite, la deuxième question revient à se demander si le résultat de la 1ère question suffit. Or d'après ce que je viens de te résumer, ce n'est pas le cas. Il te faut vérifier l'initialisation
Je préfère la métaphore du domino.Envoyé par Gwyddon
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
donc cette question me demande de verifier l'hereditarité faut prouver de Pn equivaut a Pn+1
Pas qu'elle équivaut, mais P(n) => P(n+1) pour tout n.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
oui c'est ce que je voulais dire sinon
On a
Pn= (10^n +1)/9
Pn+1=(10^(n+1) +1 )/9
Pn+1=(10^n+10 +1) /9
Pn+1=(10^n + 11)/9
en quoi Pn=>Pn+1
je dois essayer pour n=1 mais meme comme sa on a pas
Pn=> Pn+1
Quand tu essaies avec n=1, tu remplaces n par 1, et tu vois si ça marche. C'est une démarche autre que démontrer que p(n)=>p(n+1).
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Pn= (10^n +1)/9
pour n= 1
Pn= (10^1 +1)/9=11/9
Pn+1=(10^(n+1) +1 )/9
Pn+1=(10^n+10 +1) /9
Pn+1=(10^n + 11)/9
pour n= 1
Pn+1=(10^1 + 11)/9=21/9
je tourne en rond la ...
Pour la démonstration par récurrence, il faut que deux conditions (nécessaires) soient remplies : l'initialisation (p vraie pour le premier terme) et l'hérédité (si p(n) vraie, alors p(n+1) est vraie aussi).
Dans ton exercice,
l'initialisation ne marche déjà pas car 11/9 n'est pas entier. D'où l'inutilité de vérifier l'hérédité, mais vérifions quand même.
p(n) = (10^n + 1)/9 est admise comme vraie.
p(n+1) = (10^(n+1) + 1)/9
= (10^(n+1) + 1 + 9 - 9)/9 [L'idée est de pouvoir diviser 10^(n+1) par 10.]
= (10^(n+1) + 10 - 9)/9
= (10*(10^n + 1) - 9)/9
= (10*(10^n)+1)/9 - 9/9
(10*(10^n)+1)/9 = 10*p(n). donc est aussi multiple de 9 (car on a admis que p(n) était vraie, dans la vérification de l'hérédité)
9/9 est aussi vraie (ça donne 1, entier)
Donc leur différence est entière aussi.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Tu t'embrouilles totalement là...
Je ne vois pas ce que viens faire des fractions. On reprend :
P(n) : "on a 9| (10n+1 "
Donc pour montrer que l'on a P(n+1) vrai si P(n) vrai, tu pars de 10n+1+1 et tu essayes de monter que c'est divisible par 9 en supposant P(n) vrai, ie 9|10n+1
je pars de
10^(n+1) +1 = 10^n*10+1 = (9k-1)*10+1=90k- 9
ce qui est multiple de 9
Donc pn+1 est vraie
mais si n=1 on a 10 +1=11 et sa n'est pas un multiple de 9 donc P1 n'est pas vraie et la recurrence ne peut pas commencer...
qui pourrait m'aider???
Justement !
Et tu conclues : "l'initialisation étant impossible, P(n) n'est pas vraie sur tous les entiers"
C'est le but de l'exercice que de te faire tiquer sur ça
Après on peut se poser la question : existe-t'il un entier p tel que P(p) soit vrai (auquel cas l'initialisation se ferait à cet entier p, et la proposition P(n) serait vraie pour tout n supérieur ou égal à p par récurrence sur n supérieur ou égal à p) ?
La réponse est non, car l'on peut démontrer que le reste de la division euclidienne de 10n+1 par 9 est toujours égal à 2
Mais là, on a dépassé un peu l'exercice
le but de l'exercice comme te l'as dit un autre forumeur est de montrer l'hérédité seule ne suffit pas à faire une démonstration de récurrence.
Pour démontrer que cette proposition est fausse, je passerai par les congruences modulo 9
Pouhh quel casse tete les suites...
Merci beaucoup pour votre aide !
L'autre forumeur c'était moi
Tout à fait d'accord, ça se fait en une ligne.Pour démontrer que cette proposition est fausse, je passerai par les congruences modulo 9
