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exercices suites !



  1. #1
    fany93

    exercices suites !

    Bonjour
    Voila j'ai un exercice a faire mais je comprend rien a l'enoncé le voici
    Pour tout entier naturel n, on considere la proposition Pn:<<9 divise (10puissance n) +1 >>

    1.Demontrer que si Pn est vrai pour un certain n, alors Pn+1( le tout en indice) est vrai.
    2.La proposition Pn est-elle vraie pour tout entier?

    On a Pn= ((10^n)+1)/9

    c'est une demonstration apr recurrence qu'on nous demande de faire la ?

    -----


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  3. #2
    Gwyddon

    Re : exercices suites !

    Bel exercice

    En fait le but de l'exercice consiste à bien décortiquer le principe de récurrence.

    En effet, dans la récurrence, il y a deux étapes pour montrer une propriété P(n) :

    _ l'initialisation : montrer que P(0) est vrai (ou P(1) si on démarre à 1, etc..)

    _ l'hérédité : il s'agit de montrer que si P(n) est vrai pour un certain entier n, alors elle est vrai pour l'entier n+1.

    Si ces deux points sont démontrés, la propriété P(n) est alors vraie sur N (ou pour n>=1 si on a démarré à 1 lors de l'initialisation, etc...)

    Beaucoup d'élèves oublient l'initialisation et pensent que seul suffit l'hérédité (en tout cas ils oublient de démontrer l'initialisation), ce qui est incorrect et met tout le raisonnement à l'eau.

    C'est comme pour une échelle : pour pouvoir la grimper, il faut savoir grimper le barreau et pouvoir passer d'un barreau à l'autre. Si on sait passer d'un barreau à l'autre, encore faut-il pouvoir déjà grimper sur le 1er barreau

    Ici l'exercice te demande d'abord de prouver que l'hérédité est vraie : si je suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n, on a P(n+1) vraie.

    Ensuite, la deuxième question revient à se demander si le résultat de la 1ère question suffit. Or d'après ce que je viens de te résumer, ce n'est pas le cas. Il te faut vérifier l'initialisation
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #3
    shokin

    Re : exercices suites !

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    C'est comme pour une échelle : pour pouvoir la grimper, il faut savoir grimper le barreau et pouvoir passer d'un barreau à l'autre.
    Je préfère la métaphore du domino.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #4
    fany93

    Re : exercices suites !

    donc cette question me demande de verifier l'hereditarité faut prouver de Pn equivaut a Pn+1

  6. #5
    shokin

    Re : exercices suites !

    Citation Envoyé par fany93 Voir le message
    donc cette question me demande de verifier l'hereditarité faut prouver de Pn equivaut a Pn+1
    Pas qu'elle équivaut, mais P(n) => P(n+1) pour tout n.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fany93

    Re : exercices suites !

    oui c'est ce que je voulais dire sinon

    On a
    Pn= (10^n +1)/9

    Pn+1=(10^(n+1) +1 )/9
    Pn+1=(10^n+10 +1) /9
    Pn+1=(10^n + 11)/9

    en quoi Pn=>Pn+1
    je dois essayer pour n=1 mais meme comme sa on a pas
    Pn=> Pn+1

  9. Publicité
  10. #7
    shokin

    Re : exercices suites !

    Citation Envoyé par fany93 Voir le message
    oui c'est ce que je voulais dire sinon

    On a
    Pn= (10^n +1)/9

    Pn+1=(10^(n+1) +1 )/9
    Pn+1=(10^n*10 +1) /9
    Pn+1=(10^n + 11)/9

    en quoi Pn=>Pn+1
    je dois essayer pour n=1 mais meme comme sa on a pas
    Pn=> Pn+1
    Quand tu essaies avec n=1, tu remplaces n par 1, et tu vois si ça marche. C'est une démarche autre que démontrer que p(n)=>p(n+1).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  11. #8
    fany93

    Re : exercices suites !

    Pn= (10^n +1)/9
    pour n= 1
    Pn= (10^1 +1)/9=11/9

    Pn+1=(10^(n+1) +1 )/9
    Pn+1=(10^n+10 +1) /9
    Pn+1=(10^n + 11)/9
    pour n= 1
    Pn+1=(10^1 + 11)/9=21/9

    je tourne en rond la ...

  12. #9
    shokin

    Re : exercices suites !

    Pour la démonstration par récurrence, il faut que deux conditions (nécessaires) soient remplies : l'initialisation (p vraie pour le premier terme) et l'hérédité (si p(n) vraie, alors p(n+1) est vraie aussi).

    Dans ton exercice,

    l'initialisation ne marche déjà pas car 11/9 n'est pas entier. D'où l'inutilité de vérifier l'hérédité, mais vérifions quand même.

    p(n) = (10^n + 1)/9 est admise comme vraie.

    p(n+1) = (10^(n+1) + 1)/9

    = (10^(n+1) + 1 + 9 - 9)/9 [L'idée est de pouvoir diviser 10^(n+1) par 10.]

    = (10^(n+1) + 10 - 9)/9

    = (10*(10^n + 1) - 9)/9

    = (10*(10^n)+1)/9 - 9/9

    (10*(10^n)+1)/9 = 10*p(n). donc est aussi multiple de 9 (car on a admis que p(n) était vraie, dans la vérification de l'hérédité)

    9/9 est aussi vraie (ça donne 1, entier)

    Donc leur différence est entière aussi.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  13. #10
    Gwyddon

    Re : exercices suites !

    Tu t'embrouilles totalement là...

    Je ne vois pas ce que viens faire des fractions. On reprend :

    P(n) : "on a 9| (10n+1 "

    Donc pour montrer que l'on a P(n+1) vrai si P(n) vrai, tu pars de 10n+1+1 et tu essayes de monter que c'est divisible par 9 en supposant P(n) vrai, ie 9|10n+1
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    fany93

    Re : exercices suites !

    je pars de
    10^(n+1) +1 = 10^n*10+1 = (9k-1)*10+1=90k- 9
    ce qui est multiple de 9
    Donc pn+1 est vraie
    mais si n=1 on a 10 +1=11 et sa n'est pas un multiple de 9 donc P1 n'est pas vraie et la recurrence ne peut pas commencer...

  15. #12
    fany93

    Re : exercices suites !

    qui pourrait m'aider???

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : exercices suites !

    Justement !

    Et tu conclues : "l'initialisation étant impossible, P(n) n'est pas vraie sur tous les entiers"

    C'est le but de l'exercice que de te faire tiquer sur ça


    Après on peut se poser la question : existe-t'il un entier p tel que P(p) soit vrai (auquel cas l'initialisation se ferait à cet entier p, et la proposition P(n) serait vraie pour tout n supérieur ou égal à p par récurrence sur n supérieur ou égal à p) ?

    La réponse est non, car l'on peut démontrer que le reste de la division euclidienne de 10n+1 par 9 est toujours égal à 2

    Mais là, on a dépassé un peu l'exercice
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    evariste

    Re : exercices suites !

    le but de l'exercice comme te l'as dit un autre forumeur est de montrer l'hérédité seule ne suffit pas à faire une démonstration de récurrence.
    Pour démontrer que cette proposition est fausse, je passerai par les congruences modulo 9

  19. #15
    fany93

    Re : exercices suites !

    Pouhh quel casse tete les suites...
    Merci beaucoup pour votre aide !

  20. #16
    Gwyddon

    Re : exercices suites !

    Citation Envoyé par evariste Voir le message
    le but de l'exercice comme te l'as dit un autre forumeur est de montrer l'hérédité seule ne suffit pas à faire une démonstration de récurrence.
    L'autre forumeur c'était moi

    Pour démontrer que cette proposition est fausse, je passerai par les congruences modulo 9
    Tout à fait d'accord, ça se fait en une ligne.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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