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Exercices de CG.



  1. #1
    Antikhippe

    Exercices de CG.

    Bonjour,

    Je voudrais déterminer, pour n entier positif, le signe de
    .

    J'ai commencé par calculer la dérivée de cette expression et je trouve :
    .
    Déjà, je ne sais pas si ma dérivée est bonne et je ne sais pas quoi faire après.

    Merci de m'aider, Antikhippe.

    -----


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  3. #2
    ixi

    Re : Exercices de CG.

    salut Antikhippe,

    ta dérivée est bonne mais....

    Tu peux déjà chercher quelques cas:
    notons f(n)=n^6+5n^5sin(n)+1

    f(n) est inferieur a: n^6+5n^5sin(n)=n^5(n+sin(n))
    si n<-1, n+sin(n)<0 donc f(n)<0

  4. #3
    ixi

    Re : Exercices de CG.

    puis,

    f(n)>n^6-5n^5+1=g(n)
    g'(n)=6n^5-25n^4>0 si n>4
    donc f est croissante a partir de n=5,

    or f(5)=1.

    d'ou f(n)>0 si n>4.

    Il reste les cas -1,0,1,2,3,4 que tu peux faire a la main...

  5. #4
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Merci beaucoup, ixi ! Je vais finir les calculs tout seul...

  6. #5
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Salut,

    A la question 2 de l'exercice I du CG de 1983 du lien ci-dessous, je n'arrive pas à prouver l'existence et l'unicité de a. Pourriez-vous me donner une piste, s'il-vous-plaît, parce que je ne sais pas du tout comment partir.

    http://www.ifrance.com/maths-express...N-CN-OLYMP.htm

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    justine&coria

    Re : Exercices de CG.

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Salut,

    A la question 2 de l'exercice I du CG de 1983 du lien ci-dessous, je n'arrive pas à prouver l'existence et l'unicité de a. Pourriez-vous me donner une piste, s'il-vous-plaît, parce que je ne sais pas du tout comment partir.

    http://www.ifrance.com/maths-express...N-CN-OLYMP.htm
    t'as dû mal recopier l'adresse, j'arrive pas à afficher la page.

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  10. #7
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Citation Envoyé par justine&coria
    t'as dû mal recopier l'adresse, j'arrive pas à afficher la page.
    Non, c'est la bonne adresse, mais dans la partie gauche de la page, il te faut cliquer sur 1983.

  11. #8
    justine&coria

    Re : Exercices de CG.

    J'ai vraiment pas le temps en ce moment (pour cause d'examens lundi).
    Par contre, je te conseillerais de montrer que la fonction g donnée par :
    g(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ... + f97(x) est une fonction strictement décroissante de -oo jusqu'à 0.
    Il existe donc un unique réel x = a tel que g(a) = 1 (je te laisse comprendre pourquoi)!

    Mais bon, même si mon raisonnement est correct, il sera peut-être difficile à l'appliquer (en particulier montrer que la fonction g décroît).
    N'oublie pas de me dire si ça marche ou pas !

  12. #9
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Merci beaucoup pour ton aide.

    Je vais essayer de prouver la décroissance de g mais là, je n'ai pas trop le temps.

    Bonne chance pour tes exams !!!

  13. #10
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Bonjour !

    Je dois déterminer le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou égal au nombre suivant : 101992/(1083+7)
    Je pense utiliser ln ou log... mais je ne vois pas du tout comment.

    Merci pour ceux qui pourront me donner une piste .

  14. #11
    µµtt

    Re : Exercices de CG.

    Salut,


    Remarque que 1992 = 83*24 et que 1/(1+x) = 1 - x + .....


  15. #12
    g_h

    Re : Exercices de CG.

    Tiens, c'est exactement un des exos qui est dans mon bouquin de spé !

    Commence par poser A = 10^83
    Sachant que 1992 = 83*24

    Après il faut développer tout ça...

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  17. #13
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Merci à tous les deux pour vos réponses, mais je n'y arrive toujours pas...
    Citation Envoyé par µµtt
    1/(1+x) = 1 - x + .....
    1/(1+x) = (1 - x)/(1-x²), mais ça mène à quoi ???

    C'est dans quel chapitre, g_h ?

  18. #14
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Citation Envoyé par g_h
    Tiens, c'est exactement un des exos qui est dans mon bouquin de spé !
    Ca se fait avec les congruences ??? Si oui, je ne vois pas comment...

  19. #15
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Autre exercice : Quelle est l'aire maximale d'un triangle dont les sommets sont dans un carré de côté a ?

    Soit ABCD, le carré de côté a. J'ai envie de répondre que le triangle dont l'aire est maximale est le triangle DCM où M [AB]. L'aire vaut dans ce cas : a*a/2 = a²/2.

    Je suis certain qu'il s'agit du triangle d'aire maximale quand un côté du triangle est confondu avec un côté du carré, mais je me demande s'il n'y a pas un autre triangle (avec aucun côté confondu avec un côté du carré) dont l'aire serait plus grande...

  20. #16
    matthias

    Re : Exercices de CG.

    Sans faire de calcul, tu vois qu'en bougeant un sommet parallèlement au côté opposé, tu ne changes pas l'aire du triangle.
    Et à partir d'un triangle quelconque correspondant à ton énoncé, tu peux donc toujours trouver un triangle dont un côté est inclus dans un des côtés du carré et qui garde la même aire.
    Euh, je sais pas si c'est très clair ...

  21. #17
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Il garde la même aire et c'est pour ça que j'ai dit que l'aire valait toujours a²/2 quel que soit le troisième point M se balladant sur le côté opposé du carré. Mais cette aire est-elle maximale ?

    Dans le cas où le triangle n'a pas de côté en commun avec le carré, ça donne quoi ?

  22. #18
    matthias

    Re : Exercices de CG.

    Tu n'as pas compris entièrement.
    Si un triangle n'ayant aucun côté inclus dans un côté du carré était d'aire maximale, alors il en existerait un autre d'aire maximale avec un côté inclus dans un côté du carré. Donc pas la peine de chercher de ce côté

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  24. #19
    Antikhippe

    Re : Exercices de CG.

    Citation Envoyé par matthias
    Si un triangle n'ayant aucun côté inclus dans un côté du carré était d'aire maximale, alors il en existerait un autre d'aire maximale avec un côté inclus dans un côté du carré.
    Comment tu me prouves alors que le triangle dont un côté est confondu avec un côté du carré ? Parce que là, tu n'as rien démontré du tout...

  25. #20
    matthias

    Re : Exercices de CG.

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Comment tu me prouves alors que le triangle dont un côté est confondu avec un côté du carré ? Parce que là, tu n'as rien démontré du tout...
    moi pas comprendre question.

    Je dis juste que pour trouver l'aire maximale, il suffit de considérer les triangles dont un côté est inclus dans un côté du carré.
    Ensuite, si tu prends un tel triangle, il est nécessairement d'aire moindre que le même triangle que tu "étendrait" jusqu'à ce son côté soit confondu avec un côté du carré (le troisième sommet ne bouge pas).
    Et pour finir, de tous les triangles dont un côté est confondu avec un côté du carré, ceux d'aire maximale sont évidemment ceux dont le troisième sommet est sur le côté opposé.

    Cette démonstration (eh oui c'en est une) ne prouve pas que tous les triangles d'aire maximale ont un côté confondu avec un c^té du carré, mais le but c'est de trouver l'aire maximale pas les triangles correspondants.

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