formule du binôme (généralisée?)

[invite18a7f966]

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour montrer que
(x+y+z)^n=sum(pour a+b+c=n) [(n!/(a!b!c!))*x^a*y^b*z^c]??
Merci beaucoup d'avance!
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[inviteeecca5b6]

Hum, t'as essayé par récurence ?? Je pense que ca doit être plus commode comme ca...

[invite9c9b9968]

tu pars de la formule du binôme habituelle
en posant Z=x+y, puis tu refais un deuxième binôme sur (z+y)^k
tu tritouilles les doubles sommes et ça marche

[Bobby]

Tu peux essayer de poser p=y+z par exemple, ainsi il faudra appliquer le binôme une fois pour
et de l'appliquer une deuxième fois pour .

C'est une méthode qui me semble longue et j'ai la flemme de l'essayer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bobby]

d'oh !
toi plus rapide !

[invite9c9b9968]

Bon sérieusement la méthode que toi et moi proposons n'est pas trop longue, je l'ai faite avant de taper mon message et ça prend 5 minutes

[Bobby]

Au fait je me demandais comment tu faisais pour obtenir les bornes de la somme aux bons endroits. Dans une fichier .tex je mets des $$ $$, le \displaystyle ça sert à ça ?

[invite18a7f966]

Merci pour vos réponses, mais en fait j'avais déjà appliquer la méthode en utilisant la formule du binôme classique, mais après je ne voyais pas comment m'en sortir, donc je pensais que j'étais dans la mauvaise voie...parce que je ne vois pas comment "tritouiller les doubles sommes" comme 09Jul85 me le propose, quelqu'un pourrait-il me donner plus de détails svp?

[invite9c9b9968]

Au fait je me demandais comment tu faisais pour obtenir les bornes de la somme aux bons endroits. Dans une fichier .tex je mets des $$ $$, le \displaystyle ça sert à ça ?

oui ici le viewer ne gère pas les $$ $$, donc tu mets \displaystyle et ça passe

[invite9c9b9968]

Merci pour vos réponses, mais en fait j'avais déjà appliquer la méthode en utilisant la formule du binôme classique, mais après je ne voyais pas comment m'en sortir, donc je pensais que j'étais dans la mauvaise voie...parce que je ne vois pas comment "tritouiller les doubles sommes" comme 09Jul85 me le propose, quelqu'un pourrait-il me donner plus de détails svp?

je te conseille d'écrire à part les systèmes qui gèrent ton indiçage, puis de les modifier au fur et à mesure des tes changements de variables en ayant en vue le i+j+k=n, 0 <= i <= n, 0<= j <= n et 0 <= k <= n/

[invite48af87b5]

Autre façon de faire :
en développant brutalement, le coefficient devant
x^a y^b z^c
est égal au nombre de de n-uplets de la forme
(y,y,x,y,x,z,y,...)
où figurent exactement a syboles x, b symboles y et c symboles z.
Pouquoi y en a-t-il n!/a!b!c! ?
En fait, il suffit de partir de (x,...,x,y,...,y,z...z) avec a symb x, b symb y et c symb z. On lui applique l'une des n! permutations (chez les n-uplets). Alors, on a compté chaque n uplets a!b!c! fois, car il y a a! façons de permuter les x entre eux, b! façons pour les y, et c! pour les z.

Je ne sais pas si je suis très clair là ?

[invite18a7f966]

Merci heron pour ta réponse, si ça va je comprends ce que tu fais, mais je pense que je vais prendre la méthode du changement de variables, 09Jul85! Merci beaucoup encore!