Calcul (binome de Newton)

[invite51a3f1d4]

Bonjour tout le monde !
J'ai à exprimer Q(X)=((X+i)^(2r+1)-(X-i)^(2r+1))/(2i) (i^2=-1, r est un entier)
sous la forme "sigma des ak*X^k", pour k variant de 1 à 2r.
Je sais qu'il faut développer (X+i)^(2r+1) et (X-i)^(2r+1) avec le binome de Newton puis faire un changement d'indice (k=2l+1) mais je m'en sors pas dans le calcul.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider, please ?
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[invite35452583]

Déjà faire le calcul "à la main" (sans indices autres que les puissances de x) pour des petites valeurs.
r=1 et r=3 suffisent pour voir le "truc" et comprendre pourquoi on fait diviser par 2i.
Cela va aider aussi à s'y retrouver dans les coefficients.
Entre les deux notations :

préférer la deuxième qui simplifie le travail sur i.
Pour chacun d'entre eux un vient de et un de les regrouper et factoriser
Après discuter de la somme avec les puissances de i et de -i selon les valeurs de j.
Et seulement après transformer k en 2r+1.