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Somme et binôme de Newton



  1. #1
    Gunboy

    Somme et binôme de Newton


    ------

    Bonjour,

    Je voudrais vérifier avec vous mon résultat que je trouve étrange:

    On nous demande de calculer pour k =< n la somme A(n,k) suivante :

    A(n,k) =

    Je pose alors (1 - ex)n =

    (d'après la formule du binôme de Newton);

    Et en dérivant l'expression précédente k fois on trouve :

    ((1 - ex)n)(k) =

    Donc :

    A(n,k) = ((1 - e0)n)(k) = 0.

    Est-ce correct ??

    Si non, comment peut on calculer cette somme ? Merci d'avance.

    -----

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  4. #2
    Gunboy

    Re : Somme et binôme de Newton

    Je dois réctifier et préciser que ce n'est valable que si k est différent de 0.

    Si k = 0 alors A(n,k) = - 1 puisque la derivee 0 c'est la fonction elle même

  5. #3
    Gunboy

    Re : Somme et binôme de Newton

    Citation Envoyé par Gunboy Voir le message
    Bonjour,

    A(n,k) = ((1 - e0)n)(k) = 0.
    Désolé j'ai fait une grosse erreur ici;

    L'écriture correcte serait : A(n,k) = (((1 - ex)n)(k)) (0) qui ne me donnerait rien lol

  6. #4
    Kix

    Re : Somme et binôme de Newton

    Essaie de faire un developpement limité de (1-exp(x))^n à l'ordre k en 0 ca te donnera A(n,k).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Gunboy

    Re : Somme et binôme de Newton

    Citation Envoyé par Kix Voir le message
    Essaie de faire un developpement limité de (1-exp(x))^n à l'ordre k en 0 ca te donnera A(n,k).
    Merci pour ta réponse,

    Mais comment ça me donnerai A(n,k) ?

  9. #6
    Gunboy

    Re : Somme et binôme de Newton

    Et en plus je ne sais pas comment le faire car on a à peine commencer ce chapitre.. Comment calculer ce DL ?
    Merci.

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  11. #7
    Gunboy

    Re : Somme et binôme de Newton

    Voilà j'éspère que j'ai réussi à trouver;

    Je le mets ici pour vérifier, et pourque la solution reste pour quiconque tombera sur cet exercice :



    Posons :





    D'où en dérivant k fois :



    Et par suite :



    1/ Pour k = 0;





    2/ Pour k entre 1 et n-1;

    Montrons par récurrence sur k que Pk : " où P(e^x) est un polynôme en e^x." :
    • Pour k = 1 :
    • Soit k dans [1 , n - 2] , Supposons Pk et montrons Pk+1 :
      On a :


      D'où :


      CQFD.
    • Donc, quelquesoit k dans [1 , n - 1] :


    3/ Pour k = n;

    Montrons par récurrence sur n Pn : ""
    • Pour n = 1, A(1,1) = -1.
    • Soit n>= 1, supposons Pn et montrons Pn+1 :













      CQFD.
    • D'où quelquesoit n >= 1;

  12. #8
    xirius

    Re : Somme et binôme de Newton

    Exercice 1. Calcul de sommes
    Calculer
    Pn
    k=0
    kCk
    n et
    Pn
    k=0
    Ck
    n
    k + 1.
    Exercice 2. Calcul de sommes
    Soient n, p 2 N avec n > p.
    1) V´erifier que Ck
    nCp
    k = Cpn
    Ck−p
    n−p pour p 6 k 6 n.
    2) Calculer
    Pn
    k=0
    (−1)kCk
    nCp
    k .
    3) En d´eduire
    Pn
    k=0
    (−1)kCk
    nkp = 0 si p < n.
    Exercice 3. Calcul de sommes
    Soient n, p 2 N. Simplifier
    Pp
    k=0
    (−1)kCk
    n.
    Exercice 4. Sommes de cardinaux
    Soit E un ensemble fini de cardinal n. Calculer
    P
    AE
    card(A),
    P
    A,BE
    card(A \ B),
    P
    A,BE
    card(A [ B).
    Exercice 5. Sommes d’entiers
    Soit n 2 N. Calculer
    P
    i+j=n
    ij et
    P
    i+j+k=n
    ijk.
    Exercice 6. Combinaisons avec r´ep´etitions
    Soient n, p 2 N. On note ��p
    n le nombre de n-uplets (x1, . . ., xn) 2 Nn tels que x1 + . . . + xn = p.
    1) D´eterminer ��0
    n, ��1
    n, ��2
    n, ��n2
    .
    2) D´emontrer que ��p+1
    n+1 = ��p
    n+1 +��p+1
    n (on classera les (n+1)-uplets tels que x1 + . . . +xn+1 = p+1 suivant que
    x1 = 0 ou non).
    3) En d´eduire que ��p
    n = Cp
    n+p−1.
    Exercice 7. Sommes de coefficients du binˆome
    Soient n, p 2 N. Montrer que
    Pn
    k=0
    Cp
    p+k = Cp+1
    p+n+1.
    Exercice 8. Cpn
    maximal
    Soit n 2 N fix´e. D´eterminer pour quelle valeur de p le nombre Cpn
    est maximal (on ´etudiera le rapport Cpn
    /Cp+1
    n ).
    Exercice 9. Parit´e de Cpn
    Soit p 2 N, et n = 2p.
    1) Soit k 2 {1, . . ., n − 1}. V´erifier que kCk
    n = nCk−1
    n−1.
    2) En d´eduire que : 8 k 2 {1, . . ., n − 1}, Ck
    n est pair.
    3) En d´eduire que : 8 k 2 {0, . . ., n − 1}, Ck
    n−1 est impair.
    Exercice 10. Formule de Vandermonde
    Soient a, b, c 2 N. D´emontrer que
    Pc
    k=0
    Ck
    aCc−k
    b = Cc a+b . . .
    1) En calculant de deux mani`eres (1 + x)a(1 + x)b.
    2) En cherchant le nombre de parties de cardinal c dans E[F, o`u E et F sont des ensembles disjoints de cardinaux
    a et b.
    3) Application : Soient n, p, q 2 N. Montrer que
    Pq
    k=0
    Ck
    q Cp+k
    n = Cp+q
    n+q.
    Exercice 11. Formule d’inversion
    Soit (xn) une suite de r´eels. On pose yn =
    Pn
    k=0
    Ck
    nxk. Montrer que (−1)nxn =
    Pn
    k=0
    (−1)kCk
    nyk.
    Exercice 12. Suite de Fibonacci
    Soit un =
    Pn
    p=0
    Cp
    n−p. Montrer que u0 = u1 = 1 et : 8 n 2 N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci). dsl mais pas trop l'temps de develloper pi dis moi

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