Formule du binôme et complexe...

[invite9b6e0fb5]

Je ne sais pas trop si ce que j'ai fait est juste, donc j'aurais voulu avoir confirmation.

On me demande ceci:

Développer par la formule du binôme:

(cosx + isinx)^4 (x réel)

Exprimer alors cos4x en fonction de cosx

Donc en developpant, et si mes calculs sont juste

j'arrive à:

(cosx + isinx)^4= (cosx)^4 + 4(cosx)^3*isinx - 6(cosx)² * (sinx)² - 4cosx*i(sinx)^3 + (sinx)^4

et pour exprimer cos4x

Je suis parti de la formule de Moivre et ainsi

(cosx + isinx)^4 = cos4x + isin4x

et donc

cos4x = (cosx)^4 + 4(cosx)^3*isinx - 6(cosx)² * (sinx)² - 4cosx*i(sinx)^3 + (sinx)^4 - isin4x

Est ce que cela vous semble t il juste?

Merci
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[invite4793db90]

Salut,

cos4x = (cosx)^4 + 4(cosx)^3*isinx - 6(cosx)² * (sinx)² - 4cosx*i(sinx)^3 + (sinx)^4 - isin4x

c'est quoi ce - isin4x qui traîne ?


Sinon, ton calcul est juste mais tu ne réponds pas à la question posée.

Cordialement.

[invite9b6e0fb5]

ce isin4x correspond au au cos4x+isin4x que je passe de l'autre côté...

Alors la question voudrait que je change tout les sinus présents en cosinus ? Parceque sinon, j'ai rien compris ...

[invite4793db90]

ce isin4x correspond au au cos4x+isin4x que je passe de l'autre côté...

Au temps pour moi je n'ai rien dit.

Alors la question voudrait que je change tout les sinus présents en cosinus ? Parceque sinon, j'ai rien compris ...

Oui, c'est bien ça.

Indice : les nombres complexes ont une partie réelle et une autre imaginaire ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b6e0fb5]

J'ai déjà changé le sin²x en 1-cos²x

Selon ton indice... il faudrait que j'arrive à mettre toute la partie dite réelle ensemble, et toute celle imaginaire ensemble?

Parceque si c'est cela, je risque d'avoir du mal avec par exemple 4(cosx)^3 * isinx

Ah pis, tant que j'y pense.

Est ce que 4(cosx)^3*isinx - 4cosx*i(sinx)^3 = 4sin(x^3 - x) ?

[invite9b6e0fb5]

Autre idée...

cos4x + isin4x = Partie Réelle + iPartie imaginaire

donc il faudrait que je regroupe toute la partie réelle et toute la partie imaginaire, comme cela on peut faire

cos4x = Partie Reele

isin4x = Partie imaginaire


Masi en essaye de faire celà, je retrouve toujours confronter aux problème des 4(cosx)^3*isinx que je ne sais pas dissocier (ou souvient pas...)

[invite4793db90]

J'ai l'impression que l'indice t'a un peu dérouté :

Quelle est la partie imaginaire de ?

[invitedbbba468]

Nounours
Le terme qui contient i appartient à la partie imaginaire donc tu n'en tiens pas compte dans le calcul de cos(4x)
A bientot

[invite9b6e0fb5]

Je dirais à ce moment là que c'est (sinx)^4 - 6cos²xsin²x + (cosx)^4 .

[invite9b6e0fb5]

bon si j'ai tout bien compris

apres avoir remplacé tout les sinus restant

j'arrive à cos4x = 8(cosx)^4 - 8cos²x +1

[invite4793db90]

C'est ça.

Et s'appelle le quatrième polynôme de Tchebichev.

Cordialement.

[invite9b6e0fb5]

le quatrième polynôme de Tchebichev.

Ouhla j'apprend quelque chose là...

En tout cas merci beaucoup de votre aide, ça m'a permis de bien comprendre l'exercice (et de revoir un poil ma trigo)