intégration de Lebesgue, petit détail à expliquer

[vince3001]

Bonjour,

Soit un espace mesuré
Je cherche à trouver un exemple de fonction vérifiant : où
et dont l'intégrale est infinie

J'ai trouvé un exemple dans un livre :

on prend
et f l'application constante égale à 1 sur
pour tout , =ensemble vide
et donc et
Et l'intégrale de f sur

Ce qui me gène c'est que l'intégrale soit sur
Alors que f est définie sur
Que pensez vous de ce détail ?

Merci de votre aide
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[Romain-des-Bois]

Bonjour,

tu peux dire :

est définie sur et on considère la mesure de comptage que je note ...

mais tu peux dire aussi :

est l'application constante de valeur sur et on considère la mesure où désigne la mesure de Dirac en le singleton ...

et on a :


Cela revient au même d'intégrer sur par rapport à la mesure de comptage et sur par rapport à la mesure de comptage des entiers.

[vince3001]

Merci pour ta réponse, je vais y réfléchir (car cela mérite réflexion à mes yeux)

[vince3001]

Bonjour,

tu peux dire :

est définie sur et on considère la mesure de comptage que je note ...

Je ne comprend pas bien ce que tu entends par là...

Mais j'ai peut etre une solution au problème(suite à la seconde partie de ta réponse)
Ne suffit-il pas de considérer où est la mesure de Lebesgue ?Le raisonnement reste le même, qu'en penses-tu ?

Ou sinon on considère avec la mesure que tu proposais, mais elle est un peu plus compliquée et je me sens obligé de montrer qu'il s'agit bien d'une mesure...(donc si l'autre solution convient, je mets celle-ci de côté) ?

Merci de ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebsheep]

Ce qui me gène c'est que l'intégrale soit sur
Alors que f est définie sur
Que pensez vous de ce détail ?

Ton contre-exemple est parfaitement valable, sans avoir beosin de faire une transformation de derrière les fourrés. Ton intégrale n'est pas sur R, mais sur N : c'est toi même qui le définit en posant ton espace (N,P(N),Card). Sur cet espace, tes fonctions sont en fait de "simples" suites, et les intégrales des séries.

Donc c'est bon !

Pour la "mesure de comptage", c'est ce que tu appelé "Card" dans ton espace, qui à une partie de E associe son nombre d'éléments (éventuellement l'infini).

Mais ton deuxième exemple marche aussi.

[vince3001]

bref j'intègre sur plutôt que sur et ça roule
Merci !
(pas terrible ce bouquin...)