Statistique

[invite38235eee]

Bonjour tout le monde, c'est la première fois que j'écris sur le forum de mathématique mais je bloque sur un exercice qui me semble pourtant relativement simple.

Pour ceux qui seraient familiers avec la thermodynamique statistique, nous parlons ici du calcul d'un nombre de micro-états pour un ensemble microcanonique de particules réparties dans un nombre de niveaux d'énergie donné.

Voiçi les données du problème:

1200 particules sont réparties sur trois niveaux d'énergies E₁, E₂ et E₃, ceux-ci ayant respectivement des énergies de 1, 2 et 3 eV. L'énergie totale de ce système est de 2400eV. Considérant que toutes ces particules sont discernables, combien de combinaisons de répartition existe-t-il.

Bien honnêtment, mes notions de statistiques sont relativement loins et je ne sais pas trop par ou commencer. Sans nécéssairement me donner la réponse, quelqu'un serait-il en mesure de m'aiguiller un peu dans la démarche à suivre?

Merci!
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[invite986312212]

bonjour,

tu veux dire que, si ni est le nombre de particules dans l'état i, on doit avoir n1+n2+n3=1200 et n1+2n2+3n3=2400 ?

est-ce que tu cherches le nombre de triples d'entiers (n1,n2,n3) vérifiant ces conditions, ou bien le nombre de façons de répartir les 1200 particules (supposées discernables) ?

[invite38235eee]

En fait, pour chaque combinaison de triple entier remplissant les deux conditions que tu as énoncé, il faut considérer toutes les permutations possibles, ce qui se fait, si ma mémoire est bonne à l'aide de la formule suivante:


N!/(n₁!*n₂!*n₃!)
(N étant le nombre total de particules)

Du coup, je me demande si il existe un moyen de tenir compte de toutes ces permutations en un seul calcul (et ainsi ne pas avoir à le faire pour chaque combinaison de 3 entiers)

[invite986312212]

ces coefficients multinomiaux sont des nombres énormes. Et le nombre triples doit être assez grand aussi.
je ne vois pas comment faire le calcu en une fois... ce qui ne prouve rien. En tout état de cause c'est plus un problème de théorie des nombres ou de combinatoire que de statistique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite38235eee]

Oui effectivement, ces nombres sont relativement énormes. Le but n'est pas nécéssairement d'avoir une solution numérique, mais une expression pour le nombre de combinaisons.

Je dis "relativement énormes" puisqu'en fait, 1200 particules c'est très peu considérant qu'on travaille habituellement sur des ordres jouant dans les 10^23 particules

Désolé si mon titre n'est pas très évocateur, comme vous pourrez le constater les mathématiques ne sont pas vraiment ma spécialité...

Si quelqu'un a une piste de solution, je suis tout ouïe!

[invite986312212]

ce que je connais de plus proche de ton problème, est ce qu'on appelle en Anglais "change making problem" (de combien de façons ton banquier peut-il te remettre $2400 en billets de1,2 ou 3 dollars) mais dans le problème classique, le nombre total de billets n'est pas fixés (à 1200 comme ici). Mais il existe peut-être des variantes...

pour info, si le nombre total de billets n'est pas fixé, on peut faire une somme N avec des billets de 1,2 ou 3, de N^2/12+N/2+1 façons.