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Relativement compact dans relativement compacte



  1. #1
    GuYem

    Relativement compact dans relativement compacte


    ------

    Voilà une question.
    Je prends un espace topologique; un ouvert relativement compacte de .
    Si je prends une partie de , elle est relativement compacte dans certes, mais l'est-elle dans ?
    Si oui, explication, si non contre exemple?

    Merci

    -----
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Salut,

    un fermé dans un compact est compact, non?

    Cordialement.

  4. #3
    GuYem

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    En effet, c'est pour ça que est relativement compacte dans .
    Seulement faut faire gaffe : je demande si il l'est dans , muni de la topologie induite de .

    J'ai peur qu'il y ait de histoires de fermeture de K dans O qui ne soit pas la même que sa fermeture dans X et patati et patata. Ca te fait pas peur à toi Martini apparement?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    µµtt

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Salut,

    Citation Envoyé par GuYem
    mais l'est-elle dans ?

    C'est à dire ? dans la topologie induite ?

    Si oui alors je pense que c'est non (belle phrase non ?)

    ]0..1[ est rel. compact en tant que partie de IR muni de la topo habituelle mais ne l'est pas dans la topologie induite sur lui-même.

    En espérant pas dire de co...


    PS nos réponses se sont croisées ...
    Dernière modification par µµtt ; 27/06/2005 à 20h18.

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par GuYem
    Voilà une question.
    Je prends un espace topologique; un ouvert relativement compacte de .
    Si je prends une partie de , elle est relativement compacte dans certes, mais l'est-elle dans ?
    Si oui, explication, si non contre exemple?

    Merci
    Tu as raison de poser la question, ce n'est pas évident, puisque l'adhérence dans O n'est pas celle dans X. En revanche, l'adhérence dans O est celle dans X intersectée avec O (c'est le plus petit fermé de O contenant K, c'est donc naturellement l'intersection du plus petit fermé de X contenant K avec O).

    Si maintenant je recouvre l'adhérence de K dans O avec des ouverts U de O, ce sont des ouverts de la forme où U' est un ouvert de X. Les U' recouvrent donc l'adhérence de K dans X, on peut un extraire un nombre fini.

    J'aurais donc tendance à dire que oui : si K est relativement compact dans X il l'est dans O.

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  10. #7
    GuYem

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Ca me va trés bien comme contre exemple! Souvent c'est le plus simple qui marche hein?

    En plus ça me rassure parce que j'avais peur que des hypothèses supplémentaires sur X du genre topologie métrisable change la réponse; ce qui n'a pas l'air d'être le cas.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.
    Non, mu^2 a raison : il est relativement compact, c'est à dire d'adhérence compacte. J'aurais dû faire mon raisonnement sur une feuille de papier avant de le poster parce qu'il est manifestement faux.

  12. #9
    µµtt

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par 09Jul85
    Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.
    Ben écoute mon coco, relativement compact, tu sais ce que c'est ??

  13. #10
    martini_bird

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Soit l'adhérence de K dans O et soit (Vi) un recouvrement de par des ouverts de O: .
    Comme O est séparé, il suffit de montrer que l'on peut extraire de la famille (Vi) un sous-recouvrement fini de : O est relativement compacte, donc il existe une collection finie d'ouverts qui recouvre Or l'adhérence de K est contenue dans celle de O et la famille finie des convient.

    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise!

    EDIT: croisement avec tout le monde!

  14. #11
    martini_bird

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par martini_bird
    et la famille finie des convient.
    OK, je suis fatigué. On va mettre ça sur le compte de la chaleur...

  15. #12
    µµtt

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par martini_bird
    a famille finie des convient.

    Mais est ce que c'est des ouverts de O (de oui) ?

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  17. #13
    µµtt

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Avec tous ces croisements on va finir par un carambolage

  18. #14
    Gwyddon

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Oups, pardon, mais j'avais zappé le rel. qui signifiait relativement

    Désolé donc pour mon post plus qu'inutile.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    GuYem

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par Stephen
    Tu as raison de poser la question, ce n'est pas évident, puisque l'adhérence dans O n'est pas celle dans X. En revanche, l'adhérence dans O est celle dans X intersectée avec O (c'est le plus petit fermé de O contenant K, c'est donc naturellement l'intersection du plus petit fermé de X contenant K avec O).

    Si maintenant je recouvre l'adhérence de K dans O avec des ouverts U de O, ce sont des ouverts de la forme où U' est un ouvert de X. Les U' recouvrent donc l'adhérence de K dans X, on peut un extraire un nombre fini.

    J'aurais donc tendance à dire que oui : si K est relativement compact dans X il l'est dans O.
    Je suis complètement perdu là!!
    Avant d'accepter ton raisonnement je te demande : que fais-tu du contre exemple ]0,1[ dans R qui est manifestement relativement compact dans R et qui pourtant ne l'est pas dans lui-même?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #16
    matthias

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    J'ai du mal à voir où serait l'erreur dans le raisonnement de Stephen, et pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.
    Vous pouvez éclairer ma lanterne svp ?

  21. #17
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Je n'en fais rien : j'ai reconnu qu'il devait y avoir une erreur dans mon raisonnement, et j'ai la flemme de la chercher (ça doit être tout con) :S

  22. #18
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par matthias
    pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.
    Son adhérence est lui-même, donc s'il est relativement compact, alors il est compact.

    Le plongement de ]0,1[ est continu, et l'image d'un compact par une application continue est compact. Donc si ]0,1[ était relativement compact, il serait compact dans IR, ce qui n'est pas le cas.

    Ce qui est pénible, c'est que l'un de mes deux raisonnements est faux (peut-être même les deux)

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  24. #19
    µµtt

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Citation Envoyé par matthias
    J'ai du mal à voir où serait l'erreur dans le raisonnement de Stephen, et pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.
    Vous pouvez éclairer ma lanterne svp ?
    ]0..1[ est recouvert par les ouverts (relatifs!) ]1/n..1-1/n[ sans qu'on puisse en entraire un sous-recouvrement fini.

  25. #20
    matthias

    Re : Relativement compact dans relativement compacte


    Pareil que martini_bird, on va mettre ça sur le dos de la chaleur.

  26. #21
    GuYem

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Bon puisque tout le monde s'accorde pour accepter le contre exemple de ]0,1[ c'est cool.

    Pour te rassurer Stephen, c'est ton raisonnement sur les ouverts qui recouvrent qui est faux, il doit y avoir à un endroit des trucs qui sont ouverts pour une topo et pas pour l'autre et/ou versa-vice.

    Bref tout ça pour dire qu'il faut bien se méfier quand il s'agit de topo induite!
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  27. #22
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Non, les U et U' sont bien des ouverts pour les topologies respectives, c'est ailleurs que ça ne fonctionne pas mon truc.

  28. #23
    matthias

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Oui ça doit plutôt être que les U = peuvent recouvrir l'adhérence de K dans O sans que les U' recouvrent l'adhérence de K dans X.

  29. #24
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Pour moi si , alors donc ça ne doit pas être ça non plus :/

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  31. #25
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    C'est qu'il faut lire. Décidemment Oo

  32. #26
    matthias

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Si on reprend le contre-exemple:
    X=IR
    K=O=]0;1[
    Pour les U et les U' on prend les ]1/n;1-1/n[
    Ils recouvrent ]0;1[ (l'adhérence de K dans O) sans recouvrir [0;1] (l'adhérence de K dans X)
    Non ?

  33. #27
    Stephen

    Re : Relativement compact dans relativement compacte

    Ah oui, tu parlais de ce niveau là. Tu as raison je crois, bien joué !

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