Relativement compact dans relativement compacte

[GuYem]

Voilà une question.
Je prends un espace topologique; un ouvert relativement compacte de .
Si je prends une partie de , elle est relativement compacte dans certes, mais l'est-elle dans ?
Si oui, explication, si non contre exemple?

Merci
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[martini_bird]

Salut,

un fermé dans un compact est compact, non?

Cordialement.

[GuYem]

En effet, c'est pour ça que est relativement compacte dans .
Seulement faut faire gaffe : je demande si il l'est dans , muni de la topologie induite de .

J'ai peur qu'il y ait de histoires de fermeture de K dans O qui ne soit pas la même que sa fermeture dans X et patati et patata. Ca te fait pas peur à toi Martini apparement?

[inviteca3a9be7]

Salut,

mais l'est-elle dans ?

C'est à dire ? dans la topologie induite ?

Si oui alors je pense que c'est non (belle phrase non ?)

]0..1[ est rel. compact en tant que partie de IR muni de la topo habituelle mais ne l'est pas dans la topologie induite sur lui-même.

En espérant pas dire de co...


PS nos réponses se sont croisées ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.

[invite51f4efbf]

Voilà une question.
Je prends un espace topologique; un ouvert relativement compacte de .
Si je prends une partie de , elle est relativement compacte dans certes, mais l'est-elle dans ?
Si oui, explication, si non contre exemple?

Merci

Tu as raison de poser la question, ce n'est pas évident, puisque l'adhérence dans O n'est pas celle dans X. En revanche, l'adhérence dans O est celle dans X intersectée avec O (c'est le plus petit fermé de O contenant K, c'est donc naturellement l'intersection du plus petit fermé de X contenant K avec O).

Si maintenant je recouvre l'adhérence de K dans O avec des ouverts U de O, ce sont des ouverts de la forme où U' est un ouvert de X. Les U' recouvrent donc l'adhérence de K dans X, on peut un extraire un nombre fini.

J'aurais donc tendance à dire que oui : si K est relativement compact dans X il l'est dans O.

[GuYem]

Ca me va trés bien comme contre exemple! Souvent c'est le plus simple qui marche hein?

En plus ça me rassure parce que j'avais peur que des hypothèses supplémentaires sur X du genre topologie métrisable change la réponse; ce qui n'a pas l'air d'être le cas.

[invite51f4efbf]

Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.

Non, mu^2 a raison : il est relativement compact, c'est à dire d'adhérence compacte. J'aurais dû faire mon raisonnement sur une feuille de papier avant de le poster parce qu'il est manifestement faux.

[inviteca3a9be7]

Ben écoute, ]0;1[ pour moi c'est un ouvert de IR. Cela risque donc difficilement d'être un compact. Donc mauvais contre-exemple.

Ben écoute mon coco, relativement compact, tu sais ce que c'est ??

[martini_bird]

Soit l'adhérence de K dans O et soit (V_i) un recouvrement de par des ouverts de O: .
Comme O est séparé, il suffit de montrer que l'on peut extraire de la famille (V_i) un sous-recouvrement fini de : O est relativement compacte, donc il existe une collection finie d'ouverts qui recouvre Or l'adhérence de K est contenue dans celle de O et la famille finie des convient.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtise!

EDIT: croisement avec tout le monde!

[martini_bird]

et la famille finie des convient.

OK, je suis fatigué. On va mettre ça sur le compte de la chaleur...

[inviteca3a9be7]

a famille finie des convient.

Mais est ce que c'est des ouverts de O (de oui) ?

[inviteca3a9be7]

Avec tous ces croisements on va finir par un carambolage

[Gwyddon]

Oups, pardon, mais j'avais zappé le rel. qui signifiait relativement

Désolé donc pour mon post plus qu'inutile.

[GuYem]

Tu as raison de poser la question, ce n'est pas évident, puisque l'adhérence dans O n'est pas celle dans X. En revanche, l'adhérence dans O est celle dans X intersectée avec O (c'est le plus petit fermé de O contenant K, c'est donc naturellement l'intersection du plus petit fermé de X contenant K avec O).

Si maintenant je recouvre l'adhérence de K dans O avec des ouverts U de O, ce sont des ouverts de la forme où U' est un ouvert de X. Les U' recouvrent donc l'adhérence de K dans X, on peut un extraire un nombre fini.

J'aurais donc tendance à dire que oui : si K est relativement compact dans X il l'est dans O.

Je suis complètement perdu là!!
Avant d'accepter ton raisonnement je te demande : que fais-tu du contre exemple ]0,1[ dans R qui est manifestement relativement compact dans R et qui pourtant ne l'est pas dans lui-même?

[matthias]

J'ai du mal à voir où serait l'erreur dans le raisonnement de Stephen, et pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.
Vous pouvez éclairer ma lanterne svp ?

[invite51f4efbf]

Je n'en fais rien : j'ai reconnu qu'il devait y avoir une erreur dans mon raisonnement, et j'ai la flemme de la chercher (ça doit être tout con) :S

[invite51f4efbf]

pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.

Son adhérence est lui-même, donc s'il est relativement compact, alors il est compact.

Le plongement de ]0,1[ est continu, et l'image d'un compact par une application continue est compact. Donc si ]0,1[ était relativement compact, il serait compact dans IR, ce qui n'est pas le cas.

Ce qui est pénible, c'est que l'un de mes deux raisonnements est faux (peut-être même les deux)

[inviteca3a9be7]

J'ai du mal à voir où serait l'erreur dans le raisonnement de Stephen, et pourquoi ]0;1[ ne serait pas relativement compact pour la topologie induite sur lui-même.
Vous pouvez éclairer ma lanterne svp ?

]0..1[ est recouvert par les ouverts (relatifs!) ]1/n..1-1/n[ sans qu'on puisse en entraire un sous-recouvrement fini.

[matthias]

Pareil que martini_bird, on va mettre ça sur le dos de la chaleur.

[GuYem]

Bon puisque tout le monde s'accorde pour accepter le contre exemple de ]0,1[ c'est cool.

Pour te rassurer Stephen, c'est ton raisonnement sur les ouverts qui recouvrent qui est faux, il doit y avoir à un endroit des trucs qui sont ouverts pour une topo et pas pour l'autre et/ou versa-vice.

Bref tout ça pour dire qu'il faut bien se méfier quand il s'agit de topo induite!

[invite51f4efbf]

Non, les U et U' sont bien des ouverts pour les topologies respectives, c'est ailleurs que ça ne fonctionne pas mon truc.

[matthias]

Oui ça doit plutôt être que les U = peuvent recouvrir l'adhérence de K dans O sans que les U' recouvrent l'adhérence de K dans X.

[invite51f4efbf]

Pour moi si , alors donc ça ne doit pas être ça non plus :/

[invite51f4efbf]

C'est qu'il faut lire. Décidemment Oo

[matthias]

Si on reprend le contre-exemple:
X=IR
K=O=]0;1[
Pour les U et les U' on prend les ]1/n;1-1/n[
Ils recouvrent ]0;1[ (l'adhérence de K dans O) sans recouvrir [0;1] (l'adhérence de K dans X)
Non ?

[invite51f4efbf]

Ah oui, tu parlais de ce niveau là. Tu as raison je crois, bien joué !