f(xy)= f(x) + f(y)
Bonjour à tous j'ai un petit problème.
Je dois démontrer qu'il éxiste une seule fonction constante f telle que , pour tous couple (x,y) de réels, f(xy)=f(x)+f(y) ?
puis de montrer que si f est définie en 0 alors f prend la valeur 0 en tout point de son ensemble de définition .
Je ne sais comment faire, help me . pls
je ne comprends pas trop :
-es tu sur qu'il y a marqué "constante" à cet endroit là dans la première ligne ? (montrer qu'il existe une et une seule fonction constante vérifiant truc est trivial)
-si pour tout couple de réels, la fonction vérifie l'égalité, alors, nécessairement, elle est définie en 0
oui sur !Envoyé par Thorin
Une idée alors ? je ne sais meme pas comment démarrer .
Tu as tout d'abord f(0*0) = f(0) + f(0)
Donc f(0) = 2 f(0) => f(0) = 0
Et puis pour tout x, f(x*0) = f(x) + f(0) => f(x) = 0
f est donc la fonction nulle
Bizarre, cet exo.Une idée alors ? je ne sais meme pas comment démarrer .
Sans l'adjectif "constante", il s'agit de la fonction logarithme.
Si la fonction est constante, soitsa valeur. La relation fonctionnelle dit alors que
L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)
Comment as-tu démontrer que f(xy)=f(x)=f(y) ??
SUR et CERTAIN que c'est noté "une seule fonction constante f "Bizarre, cet exo.
Sans l'adjectif "constante", il s'agit de la fonction logarithme.
Si la fonction est constante, soit
Je n'ai pas démontré du tout ça.
J'applique la formule f(x*y) = f(x)+f(y) au couple (0,0)
0*0 = 0 on a donc f(0) = f(0)+f(0) ce qui implique que f(0) = 0
Après j'applique la formule au couple (x,0), ce qui va me donner la valeur de la fonction f(x) :
f(x*0) = f(x) + f(0)
Comme 0*x = 0, on a f(0) = f(x) + f(0) ce qui implique que f(x) = 0 pour tout x. Donc la fonction f est la fonction nulle.
Biensur, si f n'est pas définie en 0, cet argument n'est pas valable
oui, je sais que tu ne l'a pas démontrer. je ne voulais pas appliqué la formule sans l'avoir démontrer! et pour le moment je tombe toujours sur un hic . je ne retombe pas sur le résultat attendue.Je n'ai pas démontré du tout ça.
J'applique la formule f(x*y) = f(x)+f(y) au couple (0,0)
0*0 = 0 on a donc f(0) = f(0)+f(0) ce qui implique que f(0) = 0
Après j'applique la formule au couple (x,0), ce qui va me donner la valeur de la fonction f(x) :
f(x*0) = f(x) + f(0)
Comme 0*x = 0, on a f(0) = f(x) + f(0) ce qui implique que f(x) = 0 pour tout x. Donc la fonction f est la fonction nulle.
Biensur, si f n'est pas définie en 0, cet argument n'est pas valable
en posant f(x)= ax + b
et f(y)=a'x+ b'
je ne retombe pas sur le même résultat!
Bah si f(x) = ax + b, alors f(y) = ay + b
Donc tu as l'équation f(xy) = f(x) + f(y) qui est equivalente a :
a.x.y + b = a.x + b + a.y + b
d'ou a( x.y - x - y) = b
Et si cette egalité est vraie pour tout (x,y) alors a=b=0
merci ! je mettais tromper dans l'espression de f(xy)
