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Une fonction répétée qui incrémente



  1. #1
    Chris9

    Une fonction répétée qui incrémente

    Bonjour à tous.
    Je ne suis qu'en classe de première S, mais j'ai toujours été fasciné par les maths, et je farfouille toujours dans les cours de Term voire du supérieur pour apprendre des choses. J'ai surtout tendance à me poser des problèmes, souvent hors de portée à mon niveau (c'est pourquoi je poste dans cette partie du forum maths.)
    En voici un exemple imaginé après le cours sur les fonctions composées.

    Je rapelle que :


    Existe-t-il une fonction f telle que :





    REMARQUE : j'ai choisi arbitrairement de mettre comme membre de droite de mon égalité, le cas étant trivial (il suffit de prendre ), et la fonction "incrémentation" m'apparaissant comme la deuxième fonction la plus évidente. Cependant, on pourrait la remplacer -ô bonheur- par n'importe quelle fonction , mais c'est une autre histoire... Avis aux amateurs!

    Je trouve ce problème assez passionnant. Quelqu'un a une piste?

    -----


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  3. #2
    Taar

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Bonjour.

    f définie sur par f(x)=x+1/E(x), où E est la partie entière ?

    Il faut sans doute ajouter des conditions sur f (continuité ? dérivabilité ? définie seulement sur les entiers naturels non nuls ?) pour corser le problème.

    Taar.

  4. #3
    Garnet

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Essaie de montrer que
    puis
    puis
    puis
    etc...

  5. #4
    ericcc

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Garnet,

    Je vois bien comment on montre que f(2) est différent de 4, voire de 5, mais après le raisonnement devient scabreux, et surtout je ne vois pas comment le faire dans le cas général.

    Ne peut on essayer de montrer par récurrence que f(n)>n ?

  6. #5
    Taar

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Garnet,

    Je vois bien comment on montre que f(2) est différent de 4, voire de 5, mais après le raisonnement devient scabreux, et surtout je ne vois pas comment le faire dans le cas général.

    Ne peut on essayer de montrer par récurrence que f(n)>n ?
    Bonsoir.

    J'ai une démonstration de ça si on prend (et donc, il n'existe pas de tel ), mais pas vraiment par récurrence.

    La voilou en spoiler.

     Cliquez pour afficher


    Cela dit, je suis tout aussi curieux que toi de connaître l'idée de Garnet, sans doute bien plus simple.

    Et je n'ai pas d'idée si on accepte la valeur 0.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 16/06/2009 à 23h08.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Taar

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Ah...

    J'oubliais de dire à Chris9 que je trouve son problème passionnant !

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  10. #7
    Garnet

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Si on pose .
    On a .
    On a



    ....

    Et on peut terminer avec la proposition de Taar. Ou sinon
    On pose .
    On a


    Donc
    On a

    Donc
    ...(récurrence, j'espère que je me trompe pas)
    Donc , ce qui est contradictoire.

    Sinon je n'ai pas compris ton dernier corollaire (la partie informelle). Je n'ai pas su comment lire " r s'écrit..."

  11. #8
    ericcc

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Garnet, je ne comprends pas cette ligne :

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Donc
    Je pense que tu as voulu écrire :



    Je pense que le mieux est de finir avec la proposition de Taar dès que l'on a un p tel que fp(a)=a

  12. #9
    Garnet

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Garnet, je ne comprends pas cette ligne :



    Je pense que tu as voulu écrire :



    Je pense que le mieux est de finir avec la proposition de Taar dès que l'on a un p tel que fp(a)=a
    Non, j'ai bien raison:

  13. #10
    ericcc

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    ok

  14. #11
    Taar

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Si on pose .
    ...
    Donc , ce qui est contradictoire.

    Sinon je n'ai pas compris ton dernier corollaire (la partie informelle). Je n'ai pas su comment lire " r s'écrit..."
    Ça m'a l'air de marcher. Bien vu !

    À propos de ma partie informelle :
    L'idée (qui ressemble à la tienne) était que pour tout et tout t tel que , il existe un k tel que
    Précisément,
    Du coup par ma proposition,
    D'autre part, toujours par ma proposition,
    Ainsi,
    Dernière modification par Taar ; 17/06/2009 à 11h53.

  15. #12
    Chris9

    Re : Une fonction répétée qui incrémente

    Merci à tous pour vos réponses.

    Personne n'est tenté de la définir sur ?

  16. Publicité

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