Une fonction répétée qui incrémente

[Chris9]

Bonjour à tous.
Je ne suis qu'en classe de première S, mais j'ai toujours été fasciné par les maths, et je farfouille toujours dans les cours de Term voire du supérieur pour apprendre des choses. J'ai surtout tendance à me poser des problèmes, souvent hors de portée à mon niveau (c'est pourquoi je poste dans cette partie du forum maths.)
En voici un exemple imaginé après le cours sur les fonctions composées.

Je rapelle que :


Existe-t-il une fonction f telle que :





REMARQUE : j'ai choisi arbitrairement de mettre comme membre de droite de mon égalité, le cas étant trivial (il suffit de prendre ), et la fonction "incrémentation" m'apparaissant comme la deuxième fonction la plus évidente. Cependant, on pourrait la remplacer -ô bonheur- par n'importe quelle fonction , mais c'est une autre histoire... Avis aux amateurs!

Je trouve ce problème assez passionnant. Quelqu'un a une piste?
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[invite9cf21bce]

Bonjour.

f définie sur par f(x)=x+1/E(x), où E est la partie entière ?

Il faut sans doute ajouter des conditions sur f (continuité ? dérivabilité ? définie seulement sur les entiers naturels non nuls ?) pour corser le problème.

Taar.

[invitea41c27c1]

Essaie de montrer que
puis
puis
puis
etc...

[ericcc]

Garnet,

Je vois bien comment on montre que f(2) est différent de 4, voire de 5, mais après le raisonnement devient scabreux, et surtout je ne vois pas comment le faire dans le cas général.

Ne peut on essayer de montrer par récurrence que f(n)>n ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Garnet,

Je vois bien comment on montre que f(2) est différent de 4, voire de 5, mais après le raisonnement devient scabreux, et surtout je ne vois pas comment le faire dans le cas général.

Ne peut on essayer de montrer par récurrence que f(n)>n ?

Bonsoir.

J'ai une démonstration de ça si on prend (et donc, il n'existe pas de tel ), mais pas vraiment par récurrence.

La voilou en spoiler.

 Cliquez pour afficher

Proposition.
Soient r un entier naturel non nul, k un entier naturel, s un entier naturel impair.
Alors, parmi les , où t parcourt , il existe un multiple de s

En effet, comme s est impair, 2 est inversible modulo s, donc également.

Corollaire.
Soient r et p deux entiers naturels non nuls.
Alors, parmi l'infinité suivante de nombres entiers :
r, r+(r+1), r+(r+1)+(r+2), ..., r+(r+1)+...+(r+n-1), ...
il existe un multiple de p.

En effet, écrivons , où s est impair. D'après la proposition précédente, il existe t et u tels que .
On prend alors .


Proposition.
Soit r un entier naturel non nul. Alors pour tout entier , on a :

En effet, supposons que . Alors pour tout k multiple de p,
Il existe un tel multiple sous la forme , où
On obtient : .
Or, , , ...,
C'est une contradiction.

Corollaire.
Soit r un entier naturel non nul. Alors

En effet (informellement) :
r s'écrit donc
r s'écrit donc
...
r s'écrit donc
et

Cela dit, je suis tout aussi curieux que toi de connaître l'idée de Garnet, sans doute bien plus simple.

Et je n'ai pas d'idée si on accepte la valeur 0.

Taar.

[invite9cf21bce]

Ah...

J'oubliais de dire à Chris9 que je trouve son problème passionnant !

[invitea41c27c1]

Si on pose .
On a .
On a



....

Et on peut terminer avec la proposition de Taar. Ou sinon
On pose .
On a


Donc
On a

Donc
...(récurrence, j'espère que je me trompe pas)
Donc , ce qui est contradictoire.

Sinon je n'ai pas compris ton dernier corollaire (la partie informelle). Je n'ai pas su comment lire " r s'écrit..."

[ericcc]

Garnet, je ne comprends pas cette ligne :

Donc

Je pense que tu as voulu écrire :



Je pense que le mieux est de finir avec la proposition de Taar dès que l'on a un p tel que f^p(a)=a

[invitea41c27c1]

Garnet, je ne comprends pas cette ligne :



Je pense que tu as voulu écrire :



Je pense que le mieux est de finir avec la proposition de Taar dès que l'on a un p tel que f^p(a)=a

Non, j'ai bien raison:

[ericcc]

ok

[invite9cf21bce]

Si on pose .
...
Donc , ce qui est contradictoire.

Sinon je n'ai pas compris ton dernier corollaire (la partie informelle). Je n'ai pas su comment lire " r s'écrit..."

Ça m'a l'air de marcher. Bien vu !

À propos de ma partie informelle :
L'idée (qui ressemble à la tienne) était que pour tout et tout t tel que , il existe un k tel que
Précisément,
Du coup par ma proposition,
D'autre part, toujours par ma proposition,
Ainsi,

[Chris9]

Merci à tous pour vos réponses.

Personne n'est tenté de la définir sur ?