Une fonction qui transforme les produits en sommes Aidez moi svp

[invite1f33ab91]

Bonjour,

Avant les vacances on a entamé un nouveau chapitre en Maths "Etude de l'équation f'=kf" et on a eu un Devoir à faire pendant les vacances que je n'arrive pas trop à faire. Le voici :

Soit t un réel de ]0;+oo[ et considérons les fonctions g et h définies respectivement sur ]0;+oo[ par
g(x)=f(xt) et h(x)=f(x)+f(t)

a) Montrer que g et h sont dérivables sur ]0;+oo[ et que pour tout x réel et tout t réel de ]0;+oo[, on a : t*f'(tx)=f'(x)
b) En déduire que pour tout t>0, on a : f'(t)=f'(t)/t

Si quelqu'un peut m'aidez
Merci
-----

[invite97a92052]

Je mettrais ma main au feu que tu t'es trompé en recopiant l'énoncé !
Je crois qu'il y a trop de f' et pas assez de f

[invite1f33ab91]

Si si, j'ai bien recopié l'enoncé. Je viens de revérifier.

[invite97a92052]

Tu écris : pour tout t > 0, f'(t)=f'(t)/t
Donc f'(t) * (1-1/t) = 0
Or, 1-1/t n'est égal à 0 que si t = 1

Donc on en déduit que f'(t) = 0 pour tout t appartenant à ]0, 1[U]1, +oo[
Donc que f est constante sur ]0, 1[ et sur ]1, +oo[
Ce qui n'est pas très intéressant...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f33ab91]

Oups désolé, je me suis trompée dans l'énoncé

En fait c'est f'(t)=f'(1)/t (dans le b) ).

[invite1f33ab91]

Personne ??? aidez moi svp

[b@z66]

Bonjour,

Avant les vacances on a entamé un nouveau chapitre en Maths "Etude de l'équation f'=kf" et on a eu un Devoir à faire pendant les vacances que je n'arrive pas trop à faire. Le voici :

Soit t un réel de ]0;+oo[ et considérons les fonctions g et h définies respectivement sur ]0;+oo[ par
g(x)=f(xt) et h(x)=f(x)+f(t)

a) Montrer que g et h sont dérivables sur ]0;+oo[ et que pour tout x réel et tout t réel de ]0;+oo[, on a : t*f'(tx)=f'(x)
b) En déduire que pour tout t>0, on a : f'(t)=f'(t)/t

Si quelqu'un peut m'aidez
Merci

pour le petit "a":

Si ta "fonction" transforme vraiment un produit en somme, cela veut dire que:
g(x)=h(x) car f(xt)=f(x)+f(t) alors.

On en déduit g'(x)=f '(x)

en dérivant g(x)=f(xt), tu trouves une dérivée égale à t.f '(xt)

en dérivant h(x)=f(x)+f(t), tu trouves f '(x) car f(t) est un nombre constant.

Tu poses l'égalité des deux expressions: t.f '(xt)=f '(t).

[b@z66]

pour le petit "b": tu poses simplement x égal à 1 dans l'expression calculée précédemment.

[invite1f33ab91]

Merci de m'avoir aidé.
@++