Langage ensembliste

[invite97d79020]

Bonjour à tous.

Je vous soumet une nouvelle question sur la théorie des ensembles qui me travaille. Cela concerne plus particulièrement l'égalité dans cette théorie. J'ai pu voir deux version de l'axiome d'extensionnalité. L'une s'énonçait: Pour tout ensembles E et F,pour tout x, (x appartient à E ssi x appartient à F) implique E=F.

La deuxième remplaçait l'implication par une équivalence. Or, pour moi, ces deux manières de faire diffèrent du fait qu'il m'avait semblé que la théorie des ensembles se plaçait dans un langage logique du premier ordre égalitaire, c'est à dire qu'un prédicat d'égalité existe déjà dans le langage préalablement à toute introduction de prédicat ensembliste (appartenance, inclusion).

De fait, deux interrogations me sont venues. En effet, supposons qu'en une théorie trop naïve, on ait pu, du fait par exemple d'une compréhension non restreinte, construire l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes: Boum paradoxe de Russell. Par suite me direz vous, du paradoxe on peut déduire ce que l'on veut, mais cela concerne t-il aussi les énoncés égalitaire? Si on choisi la version de l'axiome avec l'équivalence, il y a justement équivalence donc un paradoxe égalitaire se déduit directement. En est t-il de même avec la version munie de l'implication uniquement, c'est-à-dire ou l'énoncé d'appartenance n'est qu'une condition suffisante et non nécessaire pour parvenir à un énoncé égalitaire?

Deuxième question (différente) maintenant. On a donc ce langage ensembliste avec compréhension non restreinte et dans ce langage on veut définir: 1-l'ensemble vide
2-l'ensemble de tout les ensembles.
On sait donc qu'on peut à tout énoncé P(x) ou x est une variable libre (je ne sais plus si ce n'était pas lié, bref...), associer {x|P(x)} et plus particulièrement on note {a,b,c...} les ensemble obtenus lorsque cet énoncé est: x=a ou x=b ou x=c ou...

On veut donc pour l'ensemble vide, trouver un énoncé qu'aucun x ne vérifie. Or si jamais comme dit plus haut, on peut porter les contradictions d'appartenance sur les énoncés égalitaires, l'énoncé: (x n'est pas égal à x) n'est plus possible puisque l'ensemble des ensemble qui ne s'appartiennent pas le vérifie. De même pour l'ensemble de tout les ensemble pour l'énoncé: x=x.
Certes, on peut voir parfois des définitions de l'ensemble vide comme l'ensemble E vérifiant: Pour tout x, x n'appartient pas à E. Mais est-il correct de définir un ensemble par une de ses propriété? De même lorsque l'on dit que l'ensemble vide est l'ensemble E:={}, est-ce vraiment une définition logique? Sur quel prédicat se base t-on?

Bref, je trouve surprenant que dans un langage paradoxal (ou tout est supposé possible) il soit moins facile de définir de tels objets. La contradiction des énoncés d'appartenance se reporte t-elle aussi sur les énoncés égalitaires (base du langage)?
Merci d'éclairer ma pauvre lanterne.
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[Médiat]

Bonsoir,

Je vous soumet une nouvelle question sur la théorie des ensembles qui me travaille. Cela concerne plus particulièrement l'égalité dans cette théorie. J'ai pu voir deux version de l'axiome d'extensionnalité. L'une s'énonçait: Pour tout ensembles E et F,pour tout x, (x appartient à E ssi x appartient à F) implique E=F.

La deuxième remplaçait l'implication par une équivalence. Or, pour moi, ces deux manières de faire diffèrent du fait qu'il m'avait semblé que la théorie des ensembles se plaçait dans un langage logique du premier ordre égalitaire, c'est à dire qu'un prédicat d'égalité existe déjà dans le langage préalablement à toute introduction de prédicat ensembliste (appartenance, inclusion).

Je ne comprends pas bien où vous voulez en venir, car c'est justement parce que ZF est une théorie egalitaire qu'implication ou équivalence définissent le même axiome d'extensionnalité.

Mais est-il correct de définir un ensemble par une de ses propriété?

Oui, comment faire autrement ?

De même lorsque l'on dit que l'ensemble vide est l'ensemble E:={}, est-ce vraiment une définition logique? Sur quel prédicat se base t-on?

E:={} est juste une notation, pas une définition.

Les point auxquels je n'ai pas répondu correspondent à ceux auxquels je n'ai rien compris.

[invite97d79020]

Merci, et désolé de n'avoir pas su faire passer mon interrogation.

Je ne comprends pas bien où vous voulez en venir, car c'est justement parce que ZF est une théorie egalitaire qu'implication ou équivalence définissent le même axiome d'extensionnalité.

En fait, si je ne dis pas de bêtise, il y aurait une légère différence si on peut dégager le paradoxe de Russel de la théorie. On a alors (x appartient à E) ssi (x n'appartient pas à E). Dans le cas de l'équivalence, on en déduit immédiatement (E n'est pas égal à E), tandis que dans le cas de l'implication, de prémisses faux (par rapport à ceux de l'extensionnalité) on ne peut déduire que la conclusion est fausse par rapport à celle de l'extensionnalité (vu que cela constitue le réciproque et que l'implication ne permet que la contraposée).

Néanmoins vu que c'est un paradoxe, il est tout à fait possible qu'on puisse tout de même prouver (E n'est pas égal à E) vu que comme je l'ai souvent entendu on peut tout prouver d'un paradoxe dans un système donné; mais justement je me pose la question: est-ce que ce "tout" ne consiste t-il pas en "tout ce qu'on peut former avec l'appartenance", autrement dit, la contradiction sur le système formé avec l'appartenance permet elle de dériver tout énoncé du système égalitaire, sachant que, si je ne me trompe pas, on a donné à l'égalité un statut plus "primitif" que l'appartenance justement grâce à l'implication (j'ai conscience de manquer de clarté pardonnez moi).

Oui, comment faire autrement ?

En fait, les propriétés que je trouve curieuses pour définir un ensemble E sont celles du type (Pour tout x, x n'appartient pas à E), (Pour tout x, x appartient à E). Ce que je sais dans ma théorie non retreinte, justement parce qu'un axiome me le dit, c'est que les énoncé du type: (x appartient à E ssi P(x)) définissent un ensemble E (c'est aussi une propriété, d'où effectivement votre étonnement), mais l'axiome n'indique rien à propos des deux premiers énoncés cités.

A ce moment, il faudrait de nouvelles règles pour dire qu'ils peuvent aussi définir un ensemble mais je ne saurait les expliciter, d'autant qu'il faudrait faire attention parce que pour ces deux là on a de la chance vu qu'on peut dire de tout objet si oui ou non il appartient à E (l'un c'est toujours non et l'autre toujours oui) mais si on admettait par exemple comme axiome que tout énoncé d'appartenance défini un ensemble, on serait bien embêté car pour un ensemble quelconque A, l'énoncé: A appartient à E définirait l'ensemble E, et pour tout objet autre que A, on serait incapable de dire si il appartient oui ou non à E, bref... si des règles existe pour définir des ensembles à partir des énoncés (Pour tout x, x appartient à E) et (Pour tout x, x n'appartient pas à E), merci de m'éclairer car je ne les connais pas.

Désolé encore pour mon manque de clarté, vous devez me prendre pour un fou ou pour un blagueur, mais je vous assure que ce n'est pas le cas (du moins pour la folie je le crois sans pouvoir l'affirmer ^^).

[invite7863222222222]

Bonsoir,

En fait, si je ne dis pas de bêtise, il y aurait une légère différence si on peut dégager le paradoxe de Russel de la théorie.

La contraposée de l'axiome d'extentionalité (et donc l'équivalence) découle du fait que la théorie des ensembles est une théorie égalitaire. Comme il n'est pas justifiable d'avoir une la théorie des ensembles qui ne soit pas une théorie égalitaire, vous ne pouvez pas tenir votre raisonnement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97d79020]

J'assimilerais donc votre réponse et vous en remercie.

Dans ce cas, sans cette justification très informelle que je m'étais faite ^^, je ne sais plus répondre à mon autre problème concernant les énoncés de compréhension. En effet, si donc en effet mon raisonnement est fallacieux (ce que je conçois tout à fait) vis à vis de cette réciproque de l'extensionnalité, l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas est bien inégal à lui-même. Or si on se place dans l'axiomatique ZF, un fait avéré est qu'il ne serait pas souhaitable qu'on puisse construire cet ensemble par les axiomes ZF car alors la théorie serait contradictoire.
De même, je ne crois pas qu'il ait à ce jour été démontré qu'il n'était pas possible de le construire (même si on en a pas envie), c'est à dire que la non-contradiction de ZF n'a pas été démontré (vu que dans une théorie contradictoire tout est prouvable donc tout est constructible) même si on la suppose pour obtenir de remarquable résultats d'indépendance.

Autrement dit lorsqu'on souhaite définir l'ensemble vide par compréhension restreinte sur un quelconque ensemble fondamental ou par un axiome, comment peut-on savoir si l'énoncé "x est inégal à x" le fait correctement, c'est à dire est toujours faux? Ne faudrait-il pas prouver que l'ensemble des ensembles n'est pas constructible par la théorie, c'est à dire qu'elle est non-contradictoire? J'ai conscience que mon questionnement peu paraitre futile, néanmoins, si l'énoncé "Pour tout x, x n'appartient pas à E" définit bien E comme l'ensemble vide (si les variables ne peuvent être que des ensembles), cette manière de faire n'est pas explicité dans l'axiome de compréhension d'où mon interrogation.

Merci de vos réponses une fois encore.

[Médiat]

En fait, si je ne dis pas de bêtise, il y aurait une légère différence si on peut dégager le paradoxe de Russel de la théorie. On a alors (x appartient à E) ssi (x n'appartient pas à E). Dans le cas de l'équivalence, on en déduit immédiatement (E n'est pas égal à E), tandis que dans le cas de l'implication, de prémisses faux (par rapport à ceux de l'extensionnalité) on ne peut déduire que la conclusion est fausse par rapport à celle de l'extensionnalité (vu que cela constitue le réciproque et que l'implication ne permet que la contraposée).

Est-ce que vous voulez parler d'une théorie non égalitaire avec deux symboles non logiques (∊ et =), si oui, dans ce cas, il faudrait donner les axiomes concernant =.

A ce moment, il faudrait de nouvelles règles pour dire qu'ils peuvent aussi définir un ensemble

L'axiome de compréhension (puis celui de séparation) sont là pour éviter le paradoxe de Russell, d'aillleurs les axiomes de ZF ne disent pas que ce qui ne se définit pas avec leur aide n'est pas un ensemble, ils disent que seuls ce qui se définit avec leur aide est forcément un ensemble.

[invite97d79020]

Désolé d'avoir tardé à répondre.

En réfléchissant, je suis parvenu finalement à dissiper mon malaise. Pour pouvoir déduire des théorème d'un système d'axiome selon une certaine logique, il faut supposer que la théorie n'est pas contradictoire (jusqu'à ce que, bien sûr, on parvienne à dénicher une contradiction).

En fait je m'étais mis dans la tête qu'il fallait démontrer la non-contradiction d'une théorie pour raisonner dessus, ce qui manifestement n'est pas le cas (je ne sais plus exactement si cela correspond au théorème d'incomplétude de Godël, m'enfin je m'y connais pas trop en ce domaine)

Merci pour vos éclaircissements ^^.

[Médiat]

Pour pouvoir déduire des théorème d'un système d'axiome selon une certaine logique, il faut supposer que la théorie n'est pas contradictoire (jusqu'à ce que, bien sûr, on parvienne à dénicher une contradiction).

Ce n'est effectivement pas obligatoire, mais c'est quand même mieux .

En fait je m'étais mis dans la tête qu'il fallait démontrer la non-contradiction d'une théorie pour raisonner dessus, ce qui manifestement n'est pas le cas (je ne sais plus exactement si cela correspond au théorème d'incomplétude de Godël, m'enfin je m'y connais pas trop en ce domaine)

Il y a un certain nombre de théorie dont on ne sait pas démontrer si elles sont consistantes ou non, c'est le cas de ZF ou de l'arithmétique de Peano (effectivement ela correspond au deuxième théorème d'incomplétude de Gödel).
Le gros problème que cela pose c'est que l'on ne sait pas "fabriquer" des modèles pour ces théories.

[invite97d79020]

Il y a un certain nombre de théorie dont on ne sait pas démontrer si elles sont consistantes ou non, c'est le cas de ZF ou de l'arithmétique de Peano (effectivement ela correspond au deuxième théorème d'incomplétude de Gödel).
Le gros problème que cela pose c'est que l'on ne sait pas "fabriquer" des modèles pour ces théories.

Cela est-il du au langage utilisé pour axiomatiser la théorie des ensembles?

J'avais cru lire quelque part que la construction de Von Neumman (prendre l'ensemble vide et itérer l'ensemble des parties) fournissait un modèle des ensembles bien fondé (certes il faut itérer une infinité de fois). Est-ce que ces ensembles ne découlent pas d'une sous-axiomatique de ZFC (en l'occurrence, sans l'axiome du choix, de l'infini, et du schéma d'axiome de substitution)?

[Médiat]

Cela est-il du au langage utilisé pour axiomatiser la théorie des ensembles?

Je ne comprends pas cette question.

J'avais cru lire quelque part que la construction de Von Neumman (prendre l'ensemble vide et itérer l'ensemble des parties) fournissait un modèle des ensembles bien fondé (certes il faut itérer une infinité de fois). Est-ce que ces ensembles ne découlent pas d'une sous-axiomatique de ZFC (en l'occurrence, sans l'axiome du choix, de l'infini, et du schéma d'axiome de substitution)?

ZF - axiome de l'infini est une théorie consistante, et il est assez facile d'en construire un modèle à partir de IN (le modèle d'Ackermann: en gros p appartient à q, si le p^ième bit de q en base 2 est à 1).

Attention à l'appellation "construction de von Neumann" qui fait généralement référence aux ordinaux "de von Neumann", il me semble que vous évoquez plutôt les ensembles purs, qui ne fournit pas un modèle ex-nihilo, mais qui à partir d'un modèle supposé exister permet de fabriquer un modèle ne contenant que des ensembles bien fondés.