Ab=i

[invite61bbd1bb]

Bonjour

Comment fait-on pour montrer que si A et B sont des matrices de meme taille alors AB=I implique BA=I ?

merci
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[invite9cf21bce]

Bonjour

Comment fait-on pour montrer que si A et B sont des matrices de meme taille alors AB=I implique BA=I ?

merci

Bonjour.

Voici deux méthodes (entre autres).

1. det(AB)=det(A).det(B)=1, donc det(B)0, et tout système (linéaire à n équations) ayant B pour matrice est de Cramer. En particulier, chaque système BX=E_i, où E_i est la matrice colonne composée de zéros sauf en ligne i où il y a un, admet une solution. Notons-la C_i.

Alors BC=I, où C est la matrice par blocs colonnes suivante : (C₁|C₂|...|C_n).

Il reste à voir que C=A : C=IC=ABC=AI=A.

2. Notons f l'endomorphisme de Kⁿ canoniquement associé à B. Comme AB=I, Ker f={0} (en effet, si X vérifie BX=0, alors ABX=IX donne 0=X). Donc f est bijective.

On continue comme dans la méthode ci-dessus en utilisant la surjectivité. On peut aussi faire intervenir la bijection réciproque (qui est linéaire) : notant C sa matrice dans la base canonique, on aura BC=I.


Je pense que l'immense majorité des méthodes que tu pourras rencontrer sont plus ou moins basées sur les mêmes arguments.

Taar.

[invitec7c23c92]

Est ce que A et B doivent être des matrices carrées ?

[invite9cf21bce]

Est ce que A et B doivent être des matrices carrées ?

Si elles ne sont pas carrées, le résultat est faux en général.

Ex :



alors que



Lorsqu'il suppose que A et B sont "de même taille" et que le produit AB est possible, Phenotype implique que A et B sont carrées.

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0db811c]

Bonjour,

personnellement j'aurai juste dit (BA)² = B(AB)A = BA Donc BA(BA-I) = 0 Or BA est inversible car det(BA)=Det(AB)=1, donc BA-I = 0.