Mq toute partie infinie de N est dénombrable

[invite5ebf3be6]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé la solution de ce probléme trop facilement à mon gout :

Montrez que toute partie P infinie de l'ensemble des entiers naturels est dénombrable.

Est-ce que je suis rigoureux si je dis cela :

Rangons les éléments de P dans l'ordre croissant tel que l'on ai
a₁<a₂<a₃<a₄<...

soit alors l'application
f : N -> P qui à n associe a_n
et soit
g : P -> N qui à a_n associe n

On à alors une application et son application reciproque donc f est bijective donc P et N sont de meme cardinal : P est dénombrable
-----

[Seirios]

Bonjour,

Le problème vient d'ici :

Rangons les éléments de P dans l'ordre croissant tel que l'on ai
a₁<a₂<a₃<a₄<...

Cette supposition n'est possible qu'en supposant P dénombrable...

[invite5ebf3be6]

Ah bon ?
Pourquoi cela ?

[Seirios]

Intuitivement, la notion de dénombrabilité revient à numéroter les éléments d'un ensemble. D'ailleurs, ici tu numérotes bien les éléments de P, ce qui n'est possible que pour P dénombrable. Pour t'en convaincre, tu peux essayer de numéroter les éléments de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour construire ta bijection entre P et , je te suggère une construction par récurrence, avec , , , ect.

[invite5ebf3be6]

oui je connais cette solution aussi,
je me demandais juste ce que valais celle que j'ai donné dabord.
Je vous remercie pour les reponses.

par ailleurs j'aimerais m'entrainer sur ce genre de questions,
ou pourrais-je trouver des exercices ?

[Seirios]

Je peux te proposer ceci : http://llghx4.free.fr/wordpress/wp-content/0910_DM6.pdf.

[invite5ebf3be6]

Merci beaucoup.

[Seirios]

Une petite correction sur ce que j'ai dit plus haut : le fait de pouvoir ranger les éléments de P comme impose une hypothèse plus forte que le fait que P soit dénombrable (il suffit de considérer pour s'apercevoir que cette propriété n'est pas vraie pour tous les ensembles dénombrables). Cette hypothèse revient donc à dire que P est dénombrable et que l'ordre défini sur P n'est pas dense.

[Médiat]

(il suffit de considérer pour s'apercevoir que cette propriété n'est pas vraie pour tous les ensembles dénombrables).

Cette propriété est vraie pour !

La définition de E est dénombrable est qu'il existe une bijection entre et E. Cette bijection induit un ordre sur E, qui permet de "ranger" ses éléments.

La densité est une propriété de l'ordre, alors que la dénombrabilité est une propriété de l'ensemble.

[Seirios]

Effectivement, je considérais < comme l'ordre usuel sur , mais il est effectivement possible de définir un autre ordre sur P pour ordonner ses éléments. Donc je n'ai rien dit