Espace vectoriel de dimension infinie à base dénombrable

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis demandé si en considérant un -espace vectoriel E de dimension infinie, mais possédant une base dénombrable , si une famille libre de E et dénombrable serait alors une base de E.

J'ai donc essayé d'en faire la démonstration, mais il y a quelque chose qui me dérange dans ce que j'ai écrit :

Soit telle que ; est un isomorphisme sur E.

La famille est libre par hypothèse, donc il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est génératrice.

Soit . Alors et il existe fini et tels que .

On a alors , d'où en composant les deux membres de l'égalité par , , ce qui prouve que est génératrice et achève la démonstration.

Pourtant, ce qui me dérange c'est que d'après mon raisonnement, le résultat est indépendant de la manière dont on ordonne la famille , ce qui me paraît plutôt surprenant.

Que pensez-vous donc de ce que j'ai écrit ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Médiat]

Je me suis demandé si en considérant un -espace vectoriel E de dimension infinie, mais possédant une base dénombrable , si une famille libre de E et dénombrable serait alors une base de E.

Ce n'est pas exact, pour trouver un contre-exemple, il suffit de considérer une base, puis la famille libre obtenue en retirant un vecteur de cette famille, toujours dénombrable, mais pas génératrice.

[Seirios]

Effectivement...Où est donc mon erreur ?

[God's Breath]

Soit telle que ; est un isomorphisme sur E.

Dès le départ, rien n'assure l'existence d'une telle application .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Effectivement...Où est donc mon erreur ?

Quel est le théorème qui permet d'affirmer que votre application est un isomorphisme ?

[Thorin]

le problème vient du départ : tes considérations sur phi ne sont pas prouvées.

[Seirios]

Pour l'existence de , je pensais au théorème qui assure l'existence (et l'unicité) d'une application linéaire telle que avec une base de E et une famille quelconque de F. J'ai regardé la démonstration de ce théorème, et elle n'utilise que l'unicité de la décomposition en combinaison linéaire sur la base, donc n'est-elle pas encore correcte en dimension infinie ?

Ensuite, pour moi est injective puisque la famille des est libre, et quant à la surjectivité, elle découle de la définition de , puisque si , .

[Thorin]

premier vice :

Soit telle que ; est un isomorphisme sur E.

Pour l'existence de , je pensais au théorème qui assure l'existence (et l'unicité) d'une application linéaire telle que avec une base de E et une famille quelconque de F.

entre ces 2 messages, tu échanges les rôles des deux familles : un coup la base est la variable, un coup, la base est l'image.

il faut déjà voir si tu peux corriger ça.

[ericcc]

un corollaire du théorème de Baire dit que c'est impossible

[taladris]

un corollaire du théorème de Baire dit que c'est impossible

Qu'est-ce qui est impossible? Avoir un espace vectoriel avec une base infinie? L'espace des polynômes à une indéterminée est un contre-exemple.

Ce qui n'existe pas, c'est un espace vectoriel normé complet ayant une base dénombrable.

[invite4ef352d8]

Salut !
Si tu as une famille yi de vecteur et un isomorphisme de E telle que Phi(yi)=xi, alors yi est automatiquement une base : en effet c'est l'image d'une base par Phi^(-1) qui est un isomorphisme...
donc ce sont dans tes considérations sur Phi que ce trouve l'erreur !

[ericcc]

Qu'est-ce qui est impossible? Avoir un espace vectoriel avec une base infinie? L'espace des polynômes à une indéterminée est un contre-exemple.

Ce qui n'existe pas, c'est un espace vectoriel normé complet ayant une base dénombrable.

Oui, bien entendu, Baire c'est de la topologie

[am2004]

Bonsoir,
je ne sais pas si tu as trouvé où était exactement l'erreur dans ton raisonnement. En fait tu exhibes dans ta preuve un phénomène bien connu qui dit que tout espace vectoriel E de dimension dénombrable admet des sous-espaces vectoriels W propres isomorphes (on peut donc construire une chaîne de tels sous-espaces "strictement emboîtés les uns dans les autres" à l'intérieur de E. Dans ta preuve, l'espace W engendré par la famille libre est isomorphe à l'espace de départ (l'iso est celui que tu as construit avec la justification correcte que tu fournis dans la discussion ultérieure) mais rien ne garantit que cet espace W est égal à celui de départ. Pense à l'exemple suivant, l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans un corps (disons IR pour simplifier) est de dimension dénombrable (une base est celle fournie par les monômes -puissances de X) Mais si ta famille est par exemple, les monômes de degré pair, l'espace engendré sera celui des polynômes constitués uniquement de monômes de degré pair ou encore, si on préfère, les polynômes en la variable , ce qui donne évidemment un espace strictement inclu à celui de départ.
Dans ta preuve, l'erreur est de supposer que existe quelque soit . Vu ta construction de , le domaine est W et non pas ton espace E de départ.

Je suis tombé par hasard sur une de tes questions, et en regardant ensuite les questions que tu te poses, je pense que tu dois faire les maths pour satisfaire ton désir de vraiment comprendre ce que des gens comme Alain Connes ou Elliot Lieb font pour modéliser des phénomènes physiques et aussi vu toutes les questions de maths que tu te poses.

Bonjour à tous,

Je me suis demandé si en considérant un -espace vectoriel E de dimension infinie, mais possédant une base dénombrable , si une famille libre de E et dénombrable serait alors une base de E.

J'ai donc essayé d'en faire la démonstration, mais il y a quelque chose qui me dérange dans ce que j'ai écrit :

Soit telle que ; est un isomorphisme sur E.

La famille est libre par hypothèse, donc il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est génératrice.

Soit . Alors et il existe fini et tels que .

On a alors , d'où en composant les deux membres de l'égalité par , , ce qui prouve que est génératrice et achève la démonstration.

Pourtant, ce qui me dérange c'est que d'après mon raisonnement, le résultat est indépendant de la manière dont on ordonne la famille , ce qui me paraît plutôt surprenant.

Que pensez-vous donc de ce que j'ai écrit ?

Merci d'avance,
Phys2

[invitec1ddcf27]

Salut

en regardant ensuite les questions que tu te poses, je pense que tu dois faire les maths pour satisfaire ton désir de vraiment comprendre ce que des gens comme Alain Connes ou Elliot Lieb font pour modéliser des phénomènes physiques et aussi vu toutes les questions de maths que tu te poses.

Je suis du même avis. Au vu de la quantité et de la qualités des questions mathématiques qu'il pose, il me semble évident qu'il va s'emmerder dans une filière physique.
Ceci dit, je suis toujours assez perplexe sur la pensée physique des gens qui font de la "physique mathématique". C'est peut être une idée que je me fais... Il faut dire que je suis déja rebuté par le terme "modélisation" qui pose à mon sens de gros problèmes méthodologique et épistémologique.
Chez moi, je ne parle qu'aux EDPistes brutus. Alors, ton expérience m'interesse. Tu côtoies des matheux pouvant expliquer des concepts physiques avec les mains, qui ont des notions de physiques expérimentales, etc ? Parce que moi j'ai pas l'impression que de faire des groupes quantiques soit une garantie de comprendre de la physique quantique ! Mais bon, je me trompe peut être.

[invitec1ddcf27]

Aussi, il me semble qu'Alain Connes et Elliott Lieb travaillent sur des maths très différentes !