Bonjour à tous,
Je me suis demandé si en considérant un-espace vectoriel E de dimension infinie, mais possédant une base dénombrable
, si une famille libre de E et dénombrable
serait alors une base de E.
J'ai donc essayé d'en faire la démonstration, mais il y a quelque chose qui me dérange dans ce que j'ai écrit :
Soittelle que
;
est un isomorphisme sur E.
La familleest libre par hypothèse, donc il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est génératrice.
Soit. Alors
et il existe
fini et
tels que
.
On a alors, d'où en composant les deux membres de l'égalité par
,
, ce qui prouve que
est génératrice et achève la démonstration.
Pourtant, ce qui me dérange c'est que d'après mon raisonnement, le résultat est indépendant de la manière dont on ordonne la famille, ce qui me paraît plutôt surprenant.
Que pensez-vous donc de ce que j'ai écrit ?
Merci d'avance,
Phys2
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