espace vectoriel en dimension infinie

[invitea41c27c1]

Bonjour,
Je voudrais savoir comment on démontre l'unicité du cadinal de la base en dimension infinie. Si possible dites si vous utiliser l'axiome du choix.
Merci.
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[inviteb0df2270]

A partir du moment où tu admets qu'un espace vectoriel de dimension infinie possède une base, tu as utilisé l'axiome du choix

[Médiat]

A partir du moment où tu admets qu'un espace vectoriel de dimension infinie possède une base, tu as utilisé l'axiome du choix

Je ne suis pas certain : on a besoin de l'axiome du choix pour affirmer que tout espace vectoriel de dimension infinie a une base, mais sans AC rien n'empêche un espace particulier d'avoir une base (une base de IR[X] est facile à trouver, sans AC).

Par contre on a besoin de AC pour parler de cardinal

[Médiat]

Bonjour,
Je voudrais savoir comment on démontre l'unicité du cadinal de la base en dimension infinie. Si possible dites si vous utiliser l'axiome du choix.
Merci.

Pour parler correctement de cardinal l'axiome du choix est requis, sinon :
Si tu considères deux bases (A et B) de cardinal infini et tels que , alors tous les éléments de B s'exprime comme des combinaisons linéaires finies d'éléments de A, mais l'ensemble des éléments de A utilisés pour exprimer tous les éléments de B (l'union de ensembles finis) est strictement plus petit que A, il existe donc un élément a de A qui n'est pas utilisé pour exprimer tous les éléments de B, mais comme B est une base il existe un nombre fini d'éléments de B qui permettent d'exprimer a, chacun de ces éléments peut s'exprimer dans la base A, sans utiliser a, donc a est une combinaison linéaire d'autres (strictement) éléments de A qui, alors, ne peut être une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Ok merci.

Je ne suis pas certain : on a besoin de l'axiome du choix pour affirmer que tout espace vectoriel de dimension infinie a une base, mais sans AC rien n'empêche un espace particulier d'avoir une base (une base de IR[X] est facile à trouver, sans AC).

Si tu as tout a fait raison.