espace vectoriel en dimension infinie
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espace vectoriel en dimension infinie



  1. #1
    invitea41c27c1

    espace vectoriel en dimension infinie


    ------

    Bonjour,
    Je voudrais savoir comment on démontre l'unicité du cadinal de la base en dimension infinie. Si possible dites si vous utiliser l'axiome du choix.
    Merci.

    -----

  2. #2
    Theyggdrazil

    Re : espace vectoriel en dimension infinie

    A partir du moment où tu admets qu'un espace vectoriel de dimension infinie possède une base, tu as utilisé l'axiome du choix
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  3. #3
    Médiat

    Re : espace vectoriel en dimension infinie

    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    A partir du moment où tu admets qu'un espace vectoriel de dimension infinie possède une base, tu as utilisé l'axiome du choix
    Je ne suis pas certain : on a besoin de l'axiome du choix pour affirmer que tout espace vectoriel de dimension infinie a une base, mais sans AC rien n'empêche un espace particulier d'avoir une base (une base de IR[X] est facile à trouver, sans AC).

    Par contre on a besoin de AC pour parler de cardinal
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #4
    Médiat

    Re : espace vectoriel en dimension infinie

    Citation Envoyé par Garnet Voir le message
    Bonjour,
    Je voudrais savoir comment on démontre l'unicité du cadinal de la base en dimension infinie. Si possible dites si vous utiliser l'axiome du choix.
    Merci.
    Pour parler correctement de cardinal l'axiome du choix est requis, sinon :
    Si tu considères deux bases (A et B) de cardinal infini et tels que , alors tous les éléments de B s'exprime comme des combinaisons linéaires finies d'éléments de A, mais l'ensemble des éléments de A utilisés pour exprimer tous les éléments de B (l'union de ensembles finis) est strictement plus petit que A, il existe donc un élément a de A qui n'est pas utilisé pour exprimer tous les éléments de B, mais comme B est une base il existe un nombre fini d'éléments de B qui permettent d'exprimer a, chacun de ces éléments peut s'exprimer dans la base A, sans utiliser a, donc a est une combinaison linéaire d'autres (strictement) éléments de A qui, alors, ne peut être une base.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea41c27c1

    Re : espace vectoriel en dimension infinie

    Ok merci.

    Je ne suis pas certain : on a besoin de l'axiome du choix pour affirmer que tout espace vectoriel de dimension infinie a une base, mais sans AC rien n'empêche un espace particulier d'avoir une base (une base de IR[X] est facile à trouver, sans AC).
    Si tu as tout a fait raison.

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