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Dimension espace vectoriel equa diff



  1. #1
    alphons

    Red face Dimension espace vectoriel equa diff


    ------

    Bonjour,

    J'ai du mal à voir comment on détermine la dimension de l'espace vectoriel des solutions d'une équa diff. La taille représenterait le nombre de solutions ?

    Voici un exemple :
    y''-2y'+y=0

    1) Quelle est la dimension de l'espace vectoriel de l'ensemble des solutions de cette equa diff ?

    Merci.

    -----

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  4. #2
    Syracuse_66

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    Heu, il me semble que l'ensemble des solutions d'une equa diff homogène du second ordre définit un plan vectoriel (donc de dimension 2).

  5. #3
    edpiste

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    Citation Envoyé par alphons Voir le message
    Bonjour,

    La taille représenterait le nombre de solutions ?
    Non, puisqu'il y a une infinité de solutions de l'équation...La dimension représente le nombre fonctions nécessaires pour reconstruire toutes les autres.
    Dans ton exemple, toute solution de l'eq s'écrit comme combinaison linéaire de DEUX fonctions :



    où a et b sont des constantes et et

  6. #4
    alphons

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    Bonjour,

    D'accord, donc, si il s'agit maintenant d'une équation différentielle du premier ordre, alors, la dimension est de 1 car une seule fonction suffit.
    On a alors une droite vectorielle.

    Ai je bon ?

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  8. #5
    edpiste

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    voui, si l'équation est linéaire et homogène. Si elle est inhomogène on a une droite affine. Si l'équation est non linéaire, ça peut se corser

  9. #6
    edpiste

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    En cadeau, un bon exercice d'entrainement pour comprendre ces questions de dimension sur un pb similaire : les suites récurrentes linéaires.
    Images attachées Images attachées

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  11. #7
    alphons

    Re : Dimension espace vectoriel equa diff

    Merci pour votre aide !

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