Problème de dimension...(espace vectoriel)

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde.
J'ai le petit souci suivant :
un k-ev de dimension n (de caractéristique nulle), l'application identité de et l'ensemble des vérifiant , .
Si , on pose :

et
On me dit qu'il est clair que et mais je ne vois pas pourquoi...
Jai une petite idée :
En effet soit x un élément de . On a où -2x est un élément de (car f(x) en est un par f²=id et x en est un, donc -x aussi).
Puisque rg(f-id)=1, on a et par supplémentarité (vu avant), .
Est-ce que c'est bon ?
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[invite35452583]

Puisque rg(f-id)=1, on a et par supplémentarité (vu avant), .
Est-ce que c'est bon ?

Non. Puisque rg(f-id)=1 par le théorème du rang dim(ker(f-id))=dim(E)-rg(f-id)=n-1.
Puisque f²=Id, les deux seules valeurs propres possibles de f sont 1 et -1. Si -1 n'est pas valeur propre alors f+id est un iso et 0=f²-Id=(f+id)(f-id) implique f-id=0 ce qui est exclu puisque rg(f-id) n'est pas nul. Donc dim(ker(f+id))>=1
Les espaces propres ker(f+id) et ker(f-id) ont une intersection réduite à {e} donc la somme de leur dimension est majorée par dim(E)=n. Donc dim(ker(f+id))<=n-dim(ker(f-id))<=n-(n-1))=1.
Donc dim(ker(f+id))=1.

[invitec053041c]

Salut.

Exprime Ef+ comme le noyau d'une application linéaire..

[invitebb921944]

Exprime Ef+ comme le noyau d'une application linéaire..

Simple comme bonjour... Merci

Non. Puisque rg(f-id)=1 par le théorème du rang dim(ker(f-id))=dim(E)-rg(f-id)=n-1.
Puisque f²=Id, les deux seules valeurs propres possibles de f sont 1 et -1. Si -1 n'est pas valeur propre alors f+id est un iso et 0=f²-Id=(f+id)(f-id) implique f-id=0 ce qui est exclu puisque rg(f-id) n'est pas nul. Donc dim(ker(f+id))>=1
Les espaces propres ker(f+id) et ker(f-id) ont une intersection réduite à {e} donc la somme de leur dimension est majorée par dim(E)=n. Donc dim(ker(f+id))<=n-dim(ker(f-id))<=n-(n-1))=1.
Donc dim(ker(f+id))=1.

Ca m'interesse aussi mais je ne comprends pas "Si -1 n'est pas valeur propre alors f+id est un iso " Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Ca m'interesse aussi mais je ne comprends pas "Si -1 n'est pas valeur propre alors f+id est un iso " Merci !

Si -1 n'est pas valeur propre alors c'est que f-(-1)Id=f+Id est injective. On est en dimension finie f est linéaire donc injective=>bijective.

[invitebb921944]

Merci bien !