Dimension d'un espace vectoriel

[invite4f9b784f]

Bonjour,

Ca fait longtemps que je cherche la solution de cette question mais je trouve toujours pas...

Si on note : ;

Montrer que :

.

Merci d'avance.
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[invite9cf21bce]

Bonjour,

Ca fait longtemps que je cherche la solution de cette question mais je trouve toujours pas...

Si on note : ;

Montrer que :

.

Merci d'avance.

Bonjour.

S'il s'agit du sous-espace de engendré par les monômes de degré total p, dans ta notation de droite, il ne devrait pas y avoir de virgule (et la somme va jusqu'à n).

Toute famille de monômes (unitaires) distincts étant libre, la dimension est égale au nombre de n-uplets d'entiers naturels de somme p.

[invite57a1e779]

Tu écris tes monômes explicitement avec caractères.
Par exemple devient et devient .
Tu rajoutes des séparations lorsque tu changes d'indéterminée : devient et devient .
Attention au dernier exemple, entre et tu dois rajouter deux séparations pour indiquer qu'il n'y a pas de facteur .
Comme tu as indéterminées, tu as rajouté séparations, et tout monôme est explicité par une chaîne de caractères.
Grâce aux séparations, tu n'as plus besoin d'indiquer le nom des intéderminées, tu peux toutes les remplacer par .
Désormais devient et devient .

Finalement les monômes sont représentés, de façon bijective, par des suites de caractères dont sont des séparations qui codent les changements d'indéterminées, et les autres des qui codent le nombre d'indéterminées de chaque type.

Le dénombrement des monômes revient à placer séparations parmi positions : il y a possibilités.

[invite9cf21bce]

Superbe !! Bravo God's Breath.

Je ne connaissais que le bazar classique avec , , , etc.

J'allais le mettre mais tu m'as lourdement grillé.

Taar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4f9b784f]

@Taar : Oui ce sont des fautes de frappe. Merci pour la correction. Mais vous pouvez m'expliquer un peu plus votre raisonnement ?

@God's Breath : C'est magnifique comme solution ! Merci !!

[invite9cf21bce]

Eh bien...

Si est un n-uplet d'entiers naturels de somme p, alors la valeur de est imposée par les autres . Le (n-1)-uplet est strictement croissant et ses composantes sont dans [1;p+n-1].

Il reste à contrôler (ça se fait sans trop de difficulté) qu'on a ainsi construit une bijection de l'ensemble cherché sur l'ensemble des (n-1)-uplets strictement croissants d'entiers de [1;p+n-1]. Il y en a autant que de parties à n-1 éléments.

Jusqu'à il y a trois quarts d'heure, je trouvais ça élégant...

[invite57a1e779]

Taar, ta méthode est exactement la même que la mienne, en moins visuel peut-être, mais, finalement, ton (n-1)-uplet ne fait que repérer les positions de mes séparations dans [1;p+n-1]...

[invite4f9b784f]

Merci Taar, malgré que je vois pas trop la construction mathématique de la bijection