Equation différentielle

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Bonjour j'ai un exo a faire et je bloque complètement.

Pour tout x de R on a f'(x)+f(-x)=exp(x) (E)
soit f une solution du problème
1° montrer que f est deux fois dérivable.

Je pense que si pour tout x de R f(x) est dérivable alor f'(-x) l'est aussi or f'(x)=exp(x)-f(-x) donc f''(x)=exp(x)-f'(-x) car exp x derivable pour tout x de R.

2° En Dérivant E, montrer que f vérifie une équation du 2nd ordre

si je derive on a f''(x)+f'(-x)=exp(x) mais je n'ai pas y" +y' =exp (x) et quand je remplace par f'(-x) ou f"(x) je tombe sur exp x =exp x...ce qui me semble logique mais qui me mène a rien...

Comment faire?? svp
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[invite57a1e779]

Il me semble que tu as un problème pour dériver ...

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Ou sinon je dis tout simplement que f"(x)=exp (x) - f'(-x) et on a bien ay"+by'+cy=d avec b=c=0 et d =exp(x) - f(-x) mais bon sa me parait très faux...

[invite57a1e779]

Je répète : les calculs de dérivées sont faux.

[A voir en vidéo sur Futura]

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Ah!!! Comment on calcul une dérivée de f(-x)?? Je ne vois vraiment pas comment resoudre le problème... je serai tenté de dire que f'(-x)=exp x -f"(x) mais jimagine que c'est faux...

[invite57a1e779]

Quelle est la dérivée de ?

[invitead465ff2]

la dérivée de f(ax) est af'(ax)... Donc on obtient f"(x)=exp(x)...je me suis trompé?

[invite57a1e779]

la dérivée de f(ax) est af'(ax)...

donc la dérivée de est ... ?

[invitead465ff2]

donc la derivée de f(-x) est -f'(-x) car ici a=-1

[invite57a1e779]

Pour tout x de R on a f'(x)+f(-x)=exp(x) (E)
si je derive on a f''(x)+f'(-x)=exp(x)

La réponse attendue après dérivation est .
Il faut maintenant savoir ce que vaut , ce qui demande une nouvelle manipulation de (E)...

[invitead465ff2]

Ok je vois le truc... f'(x)=exp x -f(-x) pour tout x de R dc f('-x) =exp(-x) - f(x).

On obtient donc y" + y =exp x + exp (-x). c'est correct?

[invite57a1e779]

Oui, c'est enfin correct.

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Merci beaucoup... je dois maintenant resoudre (E')

[invitead465ff2]

Je calcule les racines de l'equation caractéristique et je trouve r=i et r'=-i dc une solution de lequation homogène est acos(t)+bsin(t). Pour la solution particulière je remarque exp(x) +exp(-x)=2ch(x) et je trouve dc pour solution particulière sh(x). Est ce juste?

[invite57a1e779]

Tu es sûr de ta solution particulière ?
En reportant dans l'équation différentielle, j'ai comme un problème...

[invitead465ff2]

Non non c'est faux j'ai remplacé dans y"+y et non pas ds y"+y'

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Aprés reflexion je trouve comme solution part ch(x)...
Mon raisonnement pour la 1ere question est il juste?

[invite57a1e779]

Oui, oui, c'est bonpour la première question (en dérivant correctement le f(-x)...).
Tu progresses lentement, mais sûrement.

[invitead465ff2]

Donc une solution de (E') est y=acos(x) + b sin(x) + ch(x)
On me demande de conclure donc en gros trouver les fonction qui vérifient (E)... je sais pas vraiment comment faire... je ferais une integration de y mais ça me parait faux.

[invite57a1e779]

Tu cherches les fonctions qui satisfont la condition (E).

Tu as montré que ces fonctions sont les solutions de l'équation différentielle .

Maintenant, il te faut faire une réciproque : soit une solution de cette équation différentielle, à quelle condition sur satisfait-elle (E) ?
Il suffit de reporter dans (E) pour voir si cette fonction convient ou non.

[invitead465ff2]

C'est parceque f verifie E et E' qu'on remplace f ds E?

[invitead465ff2]

Je viens de me rendre compte que ma question est débile... Mais c'est bizarre de dériver puis de ne pas intégrer pour retomber sur ces pas... ma logique a encore pas mal de progrès a faire... Merci Beaucoup God's breath. a bientot j'ai un train a prendre!!!