Equation différentielle

[invite92876ef2]

Bonjour.

Soit :

y' + ysinx = sin2x, à résoudre.

Solution de l'équation sans second membre :

y'1 = -y1sinx.

Je ne vois pas comment faire avec une fonction trigonométrique...

Merci de m'aider !
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[invite4ef352d8]

Salut !


exactement pareil que avec n'importe qu'elle autre fonction : soit tu connait la formule géneral, soit tu fait la petite "bidouille" habituel :

y'/y = - sin x

et on intégre : ln y + C= cos x

donc y(x) = k*exp(cos(x)).

[invitec053041c]

Pour une equa. diff. du type
Il doit être écrit dans ton cours que, en prenant
Alors ta solution générale est

Si tu veux une petite justification, regarde ce que signifie:
en termes de dérivée.

[invite92876ef2]

Hum...

Alors par exemple :

y' + y2tanx = 0
y'/y = -2tanx

et la primitive de sin(x)/cos(x) est - ln(cosx)

donc ln y = ln(cos²x)

d'où y = cos²x....

Je n'utilisais jamais cette méthode, mais je vois qu'elle est hyper utile !... lol

Si on a

y' + y = cos(x), faut-il nécessairement utiliser la méthode du régime sinusoïdale forcé ?
Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Oui, la méthode des amplitudes complexes est facile à utiliser.
Mais ne l'utilise pas si tu as une solution évidente.

[invite92876ef2]

Mwais, j'avais un peu oublié, et ces calculs sont ultras simples.

Merci.

[invitec053041c]

Parcontre n'oublie pas que les amplitudes complexes ne s'utilisent qu'avec des equa diff linéaires (pas comme la toute première que tu as postée).

[invite92876ef2]

Yes, en 1ère année de prépa on ne voit que les équations différentielles linéaires.

[invitec01a4ae8]

Salut !
donc y(x) = k*exp(cos(x)).

Exact. Ensuite pour trouver la solution générale, il faudra réintroduire k dans l'équation de départ et le faire varier.

Un petit indice pour l'intégrale qui se présente: en considérant que sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x), on peut intégrer par parties. Il y a peut être plus simple, mais en tout cas, ça a marché chez moi.