Besoin d'aide pour changement de variable (intégration)

[invite6644da5a]

Voila j'ai fait 3 exercices sur le changement de variable et je voudrais savoir si j'ai commis des erreurs et me corriger mes erreurs en m'explikant. Merci d'avance a tou ceu ki pourront m'aider:

EXERCICE 1:
Calculer l'intégrale: cos (2x + PI/4) dx,aux bornes B= PI/2 et A= -PI/4

j'ai trouver:
u= 2x + PI/4
du= 2 dx

Sans me préocuper des bornes dans un premier temps:
I cos (2x + PI/4 ) dx = I 1/2 cos u du =
= 1/2 cos . U^2 /2 + k
= cos u2 /4 + k

Puis en intégran les bornes:
je trouver cos 36PI/256 mé je pense avoir faux vers le milieu ou vers la fin. donc si vou pouviez me dire mes erreurs, ce serai sympa... merci. est ce bon de diviser cos par 2 un moment vu ke du = 2dx ?


EXERCICE 2:
(1-racine de x)/racine de x dx, bornes B=4, A=1

j'ai trouver: (1/racine de x)(1-racine de x) dx
u= 1-racine de x
du= -1/(2 racine de x) dx

Sans me préocuper des bornes dans un premier temps:
j'ai donc trouver I -2 u du
= -2 . u2 /2 + k
=- u2 +k

Puis en intégran les bornes:
I= 1/4 = 0,25

est-ce correct?


EXERCICE 3:
(e3x)/(1+e2x) dx bornes B=1, A=0

J'ai trouver: (1/1+e2x)(e3x) dx
u= e3x
du= 3e3x dx

Apres c'est : I 1/(1+e2t)/(3e3t) u du ???


Merci pour votre aide précieuse.
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[martini_bird]

Bonjour et bienvenue,

il est inutile de poster trois fois la même question dans des forums différents!
Merci de relire la charte.

Pour la modération.

[invitebb921944]

Sans me préocuper des bornes dans un premier temps:
I cos (2x + PI/4 ) dx = I 1/2 cos u du =
= 1/2 cos . U^2 /2 + k
= cos u2 /4 + k

Je comprends rien à ce que t'as fait.
Une primitive de 1/2*cos(u) n'est pas 1/2*cos(u²/2)+k !!!
Une primitive de cos(u) serait plutôt sin(u)
Donc tu poses
u=2x+Pi/4
du=2dx (dx=du/2)

Tu obtiens Int(1/2*cos(u)du,A=-Pi/4,B=5Pi/4)
(car quand x varie de -Pi/4 à Pi/2, u varie de -Pi/4 à 5Pi/4)
Ton intégrale vaut donc :
1/2*sin(-Pi/4)-1/2*sin(5Pi/4)=0

Mais un changement de variable pour une fonction comme celle là est vraiment inutile !

[invitebb921944]

Bon déja quand tu calcules une intégrale, il ne faut pas t'occuper de la constante k.
Ensuite, il ne faut pas s'occuper des bornes après.
Tu les calcules en même temps que tu changes de variable.
Ici, tu as bien choisi
u=1-racine(x)
du=-1/(2racine(x))
x=1 -> u=0
x=4 -> u=-1
Donc quand x varie de 1 à 4, u varie de 0 à -1.

Tu as donc l'égalité suivante :

Int((1-racine(x))/racine(x),x,1,4)=Int(-2u,u,0,-1)
Une primitive de -2u comme tu l'as dit est -u²+k (k=0)
Tu obtiens donc :
[-u²] (de 0 à -1)= -(1)²-(-(0)²)=-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

EXERCICE 3:
(e3x)/(1+e2x) dx bornes B=1, A=0

J'ai trouver: (1/1+e2x)(e3x) dx
u= e3x
du= 3e3x dx

Apres c'est : I 1/(1+e2t)/(3e3t) u du ???

Si tu veux mon avis, vu le niveau des intégrales précédentes, il y a une erreur d'énoncé. J'aimerais quand même te dire que le but d'un changement de variable est de simplifier le calcul de l'intégrale, ce qui n'est ici pas du tout le cas pour u=e3x.
A mon avis ta fonction, c'est e3x/(1+e3x) (mais en même temps j'aime bien changer les énoncés quand c'est pas évident).

[invite6644da5a]

Deja merci Ganash d'avoir répondu a mon forum.

Pour ceux ki est de tes kestions:
-Je doi faire un changement de variable car en fete c l'énoncé de l'exercice qui veux ca.
-l'exercice 3 n'a aucune erreur d'énoncé, c'est bien 1+e2t au dénominateur.

Mes kestions:
-pkoi la primitive de 1/2 cos (u) n'est pas 1/2 sin 1/2 u^2 ?
-comment fait tu pour savoir que PI/2 peut etre remplacer par 5PI/4 ?
-dans l'exo 2: je ne comprend pas comment tu es passé de B=4 et A=1 à: B= -1 et A= 0
- et sais tu faire l'exo 3 en sachan ke l'énoncé ne comporte aucune erreur?

Si tu pouvais m'expliquer tout ca ce serais cool.
Je commence tou juste a étudier les changement de variable donc je c ke jfé pa mal d'erreurs. Mon but n'est pas de réussir les exercice a tout prix mais de comprendre comment ca fonctionne et apprendre de mes erreurs en vue d1 partielle.

Merci a tout ceux ki pourront m'aider.

[invitebb921944]

Une primitive de x est bien 1/2*x²+k si j'intègre par rapport à x.
Une primitive de cos(x) est bien 1/2*cos(x)²+k mais UNIQUEMENT si j'intègre par rapport à cos(x).
Or ici tu intègres par rapport à x.
Une primitive de cos(x) par rapport à x est sin(x)+k. (ça doit être dans ton cours tout ça !)

En ce qui concerne les changements de variables :
Supposons que j'ai l'égalité u=1+x
Si je fais varier u de 0 à 1, x va varier de -1 à 0.
Tout simplement parce que quand u vaut 0, on a x+1=0 <-> x=-1.
Quand u vaut 1, on a x+1=1 <-> x=0.

Ici c'est le même principe.
J'ai u=2x+Pi/4 avec x varie de -Pi/4 à Pi/2.
Quand x=-Pi/4, on a u=2*(-Pi/4)+Pi/4=-Pi/4
Quand x=Pi/2, on a u=2*(Pi/2)+Pi/4=5Pi/4
Donc quand x varie de -Pi/4 à Pi/2, u varie de -Pi/4 à 5Pi/4.
Pour l'exo 2 c'est la même chose.
En fait quand tu changes de variable, les bornes d'intégration changent car la nouvelle variable varie entre deux valeurs qui ne sont pas les mêmes que l'ancienne (mais ces deux nouvelles valeurs se déduisent des anciennes).

Pour l'exo 3 je vais chercher un peu...

[invitebb921944]

En ce qui concerne l'exo 3, je pense que le plus simple est d'écrire :


En posant u=e^x, on obtient
Ensuite en faisant une Intégration Par Parties dans laquelle on dérive u², on doit pouvoir s'en sortir. Je te laisse chercher un peu, je reste dans le coin !

[invitebb921944]

Fais deux intégrations par parties et utilise le fait qu'une primitive de 1/(1+x²) soit Arctan(x)+k et tout ira bien.

[invite6644da5a]

Pr l'exo 3: Le probleme c'est que cet exercice veu pas kon fasse une intégration par partie. le but est de faire un changement de variable.

Je suis entrain de faire 2 nouveaux exercices mais l'énoncé cet foi c'est intégrer en faisant un changement de variable INDIQUé. (S)

EXERCICE 4:
Intégration de: dx/(x racine de(1+x)
avec S= racine de(1+x)

EXERCICE 5:
Intégration de: ln((racine cubique de x)-1) dx
avec S= racine cubique de x


Mon probleme c'est que je n'arive pas a avoir kelke chose de la forme de F(U)

Ce que je ne comprend pas, c'est que faire de la variable indiqué: S

Je voudrai savoir comment commencer en fete: de kel forme doit-on metre cet intgration pr calculer u?

Pr l'exo 1c t facil on prenai u=2t+PI/4 et F(u)=cos(u)

Mais la je ne c pas commencer, je suis meme pas sur de ce ke signifie la variable indiqué.

Merci pour votre aide

[invitebb921944]

S a ici la même fonction que u dans les exercices précédents.
Tu aurais pu l'appeller v, h, t ou tout ce que tu veux (même u), çà ne change rien au problème, ce n'est qu'une notation.
Quand ils te disent de faire le changement de variable S=racine(1+x), tu dois exprimer ton intégrale en fonction de S, comme tu le faisais pour u pour les autres exos.

Pour l'exo 3, le fait de changer de variable ne t'interdit pas de faire une intégration par parties (on change de variable, puis on fait une IPP)... Je pense que tu ne pourras pas faire autrement de toute façon.

[invitebb921944]

Bon en fait il n'y a pas besoin d'IPP pour la 3 !

On pose alors u=e^x et on obtient l'expression :


Ce qui s'intègre facilement !

[invite6644da5a]

OK merci pr l'exo 3, jverrai ca en détail apres avoir fait le 4 et le 5.

Pr l'exo 4 et 5 je compren pas un truc; c'est qu'ils donne pr le 5 par exemple: S= racine cubique de x. mais comment faire pr trouver F(u) car ils orai donner S= racine cubique de(x-1), OK la jorai compri.

Mais ca fera que:
ln(racine cubique de x) + ln(-1) mais ca fé kelke chose de la forme:
F(u) + F(u) et non F(u)

donc leur variable indiqué me pose vrémen un gro probleme!

la dérivé de S étant u si g bien compri. cela ferai:
ln(u-1) dx et non ln(u) dx. ca me pose un probleme.
kelkin peut m'expliker comment s'y prendre svp???

Pr l'EXERCICE 4:
la dérivé de S serait 1/(2racine de(1+x)) ?

Mais ensuite vu ke c'est: Intégration de: dx/(x racine de(1+x))
ca ferai dx/(x.u) soit dx/x + dx/u mais pas kelke chose de la forme F(u)

enfin jespere ke vou comprenez ce k'est mon probleme.

Je ne c pa faire pr le changement de variable sil n'ya pas kelke chose de la forme F(u).

Merci pr votre aide

[invitebb921944]

Mais ca fera que:
ln(racine cubique de x) + ln(-1) mais ca fé kelke chose de la forme:
F(u) + F(u) et non F(u)

Houlala ln(a+b) n'est pas égal à ln(a)+ln(b) et ln(-1) n'existe pas car lnx est définie sur ]0;+l'infini[.

Bon alors déjà arrête avec ta variable u ! Si dans cet exo il te dise de faire le changement de variable S=kelke chose en fonction de x, u n'intervient pas du tout. u n'est pas la dérivée de S.

Exo 4 :


Donc



On remplace dans l'expression à intégrer et on obtient :



Je ne connais pas tes bornes d'intégration, j'ai donc mis a, b, c et d.

[invite6644da5a]

Pkoi 1/x = 1/S^2 - 1 ? stp

merci de ton aide

[invite6644da5a]

et pkoi dans l'exercice 3:

(e^3x)/(1+e^2x) = e^x [( (e^x)^2 ) / ( 1+(e^x)^2 )] ???

ce n'est pas plutot: = e^x [(e^2x)/(1+(e^2x))] ???

[invitebb921944]

Pkoi 1/x = 1/S^2 - 1 ? stp

Ben parce que S=racine(1-x)...

(e^x)^2=e^(2x)

[invite6644da5a]

J'ai tenter de finir l'exo 3:

le sujet était: Intégration de ((e^3x) / (1+e^2x)) dx avec pr bornes B=1 et A=1

donc u = e^x
du = e^x dx

j'ai trouver ke ca donnait:

Intégration de: 1/(e^3x + e^x) u du

= 1/(e^3x + e^x) . ((u^2)/2)

Ensuite pr bornes B: x=1 et u=0 car e^1=0
bornes A: x=0 et u=1 car e^0=1

petite kestion dailleur: on doi remplacer ensuite les u et x par les borne u et x? ou juste remplacer u ou x par les bornes?

g donc trouver:
[2(u^2(e^3x+e^x))] grace a un produi en croix.

ensuite j'ai remplacer borne B par u=0 et x=1
j'ai remplacer borne A par u=1 et x=0

ce ki ma doné:
0 - 2e^0 = -2

est-ce correct? si ce n'est pas le cas, ou sont mes erreurs?

merci.

[invite6644da5a]

l'énoncé de départ de l'exo 3 étai borne B=1 et borne A=0.

dsl de l'erreur. ( g marker B=1 et A=1 en énoncé ).

mais c'est B=1 et A=0

voila,dsl.

[invite6644da5a]

Pour l'exo 4:

les bornes B=3 et A=1

étan doné ke S=racine de (1+x)

g trouver en borne B: u=2 et A: u=1

ce ki doi doner: intégration de: 2/((S^2)-1) du avec les nouvel borne Béta=2 et alpha=1

kel est la primitive de 2/((S^2)-1) ??????? pr pouvoir continuer...



merci de votre aide pr l'exo 3 et 4...

[inviteb85b19ce]

est-ce correct?

Non...
Est-ce que tu as vraiment compris l'histoire du changement de variable?

Tu as raison de poser u = e^x, et donc du = e^xdx, mais après il faut remplacer tous les "x" dans ton intégrale et adapter les bornes en conséquence.
Quelle expression obtient-on en fonction de u uniquement?

[invitebb921944]

les bornes B=3 et A=1

étan doné ke S=racine de (1+x)

g trouver en borne B: u=2 et A: u=1

ce ki doi doner: intégration de: 2/((S^2)-1) du avec les nouvel borne Béta=2 et alpha=1

kel est la primitive de 2/((S^2)-1) ??????? pr pouvoir continuer...

Tu les laches pas tes u décidément !
En borne B on a S=2 je suis d'accord mais en borne A, S ne vaut pas 1.

Pour finir l'exo, tu dois simplement connaître une primitive de ce qui est sans aucun doute dans ton cours.

[invite6644da5a]

Pour l'exo 3:

Odie d'accord mais apres avoir trouver du=e^dx
tu es dacord il fo trouver 1/(1/(e^2x)+1) = combien de fois u ? soi combien de foi e^x ?

j'ai trouver 1/(e^3x+e^x)

merci de m'aider pour me dire...

Ganash tu peux regarder ce ke g fé sur l'exo 3 ki est a la fin de la page 1 stp? et me dire ce ke tu en pense, merci bcp.

A oui g vu ke pr l'exo 4 jme sui gourer, la borne alpha=0 c ca?

[invitebb921944]

Ben nan si x=1, S=racine(1+1)=racine(2)
En fait il y a quelque chose que tu ne comprends pas, c'est que tu dois soit avoir uniquement des u, soit uniquement des x dans ton intégrale. Il ne doit y avoir qu'une variable.

Intégration de: 1/(e^3x + e^x) u du

Tu ne peux rien faire avec cela pour la raison que je t'ai donnée plus haut. Il faut te débrouiller pour n'avoir que des u.
Or tu sais que
u=e^x
e^(3x)=(e^x)^3=u^3
Tu peux ainsi obtenir une expression en fonction de u uniquement.

[invitebb921944]

j'ai trouver ke ca donnait:

Intégration de: 1/(e^3x + e^x) u du

Je vois pas comment tu trouves çà, ce n'est pas égal à l'expression de départ !

[invite6644da5a]

pr l'exo 4, je ne trouve pa la primitive de 1/((x^2) -1)

j'ai les primitive de 1/1+x^2 est arc tg x
la primitive de 1/racine de 1-x^2 est arc sin x

Mais jariv pa a trouver la primitive ke je cherche . donc si kelkin peut me la dire pr ke je termine l'exo 4 ce serai sympa, merci. ( je fé tou les site du net pr trouver jariv pa a trouver cel la ca mstress LOL )

[invite6644da5a]

dans l'exo 3, comment sy prendre apres avoir

u= e^x
du=e^x dx

jaimerai finir cet exercice en mexplikan bien les étape afin d'etre sur de bien comprendre. car ds l'exo 1 avec les cos. on avai trouver ke ca faisai 2du.

j'ai cru faire de meme pr l'exo 3 mai apparemment c pa bon donc merci de votre aide pr l'exo 3 et 4...

[invite6644da5a]

je voulai parler g cru fer pareil ke ds l'exercice 2, un momen nou trouvon ds l'exo 2: -2u.

[invite6644da5a]

OK non en fete c bon pr la 3 compri.

je voudré juste savoir maintenant pr l'exercice 4, la primitive de 1/((x^2)-1)

existe t-elle? si ce n'est pas le cas, comment faut-il faire?

merci a tou ceu ki pouron m'aider

[invite6644da5a]

Pour l'exo 3, je trouve:

arc tan (1/e^1) - arc tan (1)

ce ki done: arc tan (1/0) - arc tan (1)

c bon??? mais ca donne koi arc tan(1/0) ?? coment fé t-on???


Pr l'exo 4:

je voudrai connaitre la primitive si el existe de: 1/((x^2)-1)
Si elle n'existe pas, comment faut-il faire?

merci de votre aide