Q est dénombrable
Bonjour,
J'aimerais beaucoup trouver une démonstration montrant que Q est démontrable. Etant une partie dense dans R, je ne vois pas comment faire.
Juste pour la culture...
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La succession de chercheurs est comparable à un seul homme qui apprend indéfiniment. Blaise Pascal
s'lut...
repense à sa définition et cherche une bijection avec un autre espace dont tu montres trivialement qu'il est dénombrable...
Mais comment montrer qu'il existe une bijection de N dans Q? C'est là le problème...
ok, alors disons qu'il faut têt que tu cherches pas directement entre Q et N mais entre Q et autre chose... après avoir montré que cet "autre chose" est aussi en bijection avec N... autre chose pouvant être par exemple (mais vraiment pas exempleEnvoyé par max2357
) un truc construit à partir de N ou de plusieurs copies de lui-même...
d'accord, en raisonnant avec N et Z qui sont dénombrables, on peut créer une application de N*Z vers Q. Mais ce n'est pas une bijection....
Bonjour à tous
Je pense à NxN vers Q, mais NxN est-il dénombrable simplement parce que N l'est ?
Là j'en sais pas assez en math pour répondre...
Si deux ensembles sont dénombrables, leur produit cartésien l'est. L'ennui, c'est qu'une application de NxN vers Q n'est pas surjective.
j'ai dit "bijection" moi ?
têt que l'un des deux aspects de la bijection est suffisant pour montrer que c'est dénombrable, non ?
C'est vrai. La surjectivité suffit pour montre que l'on peut associer à tout rationnel un élément de ZxN*
Bonjour,
Quelques éléments de piste (presque complet mais ce n'est pas un exercice trivial de mettre Q en bijection avec N) :
1) D'abord se simplifier la vie:
Les rationnels se divisent en nombres strictement positifs, en nombre strictement négatifs et en 0.
Les deux premiers sont en bijection, le dernier est tout seul.
On peut peut-être trouver une décomposition de N du même type N=N1 "+" N2 "+" 1 élément tout seul.
Reste à mettre N1 en bijection avec les rationnels strictement , imiter entre N2 et les négatifs (il suffit de dire qu'on le fait) et relier les deux éléments esseulés.
2) Tout nombre rationnel strictement positif s'écrit de manière unique p/q avec p et q premiers entre eux, p et q strictement positifs.
3) Faire un grand tableau N*N*, mettre
PS : c'est peut-être inutile de le préciser mais l'exposant "+" signifie qu'on ne prend que les positifs, l'exposant "*" signifie que l'on ne prend pas 0.
Hello,
Peut-être en commençant par montrer que tout entier relatif N non nul se décompose de façon unique sous la forme
Ensuite touver une surjection
Pour détailler un peu plus :
Existence de la décomposition :
Si N est impair, il s'écrit N = 2p+1 soit (2p+1)20
Si N est pair on le divise par la plus grande puissance de 2 possible (que je note P) pour que le reste euclidien soit nul, et on trouve un nombre impair Q qui est le quotient de cette division (sauf si N = 0, la décomposition n'existe pas car Q = 0 n'est pas impair)
N = P*Q avec Q = 2p+1 et Q = 2n
Ensuite, un simple théorême de Gauss permet de conclure sur l'unicité.
On tient donc notre bijection
Il existe une bijection de
D'où une bijection de
Et on vérifie que l'application
D'où une surjection entre
