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Espace connexe dénombrable



  1. #1
    martini_bird

    Espace connexe dénombrable


    ------

    Salut,

    suite au fil de mmy, je me suis demandé s'il était possible qu'un espace soit dénombrable et connexe. C'est clair si l'espace est un singleton ou encore s'il est muni de la topologie grossière.

    Mais peut-on trouver d'autres exemples ? En particulier si l'on exige que les points soient fermés ?

    Cordialement.

    -----
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    D'une certaine manière, topologie grossière et singleton c'est la même chose.

    Je pense qu'il faut imposer la topologie d'être Kolmogorov, sinon la notion de cardinal ne veut pas dire grand chose. (Ou est-ce que ça a quelque chose à voir avec la condition que les points soient fermés?)

    Cordialement,

  4. #3
    Médiat

    Re : Espace connexe dénombrable

    Tentative sans garantie (j'ai la tête qui fume, mais je n'arrive ni à prouver que cet espace est connexe, ni à trouver à le couper en deux ouverts)...

    Soit l'ensemble des rationnels appartenant à [0 ; 1[ (pour se simplifier la vie) dont le développement décimal propre (pour éviter d'écrire 0.2 = 0.19) est constant, à partir d'un certain rang, muni de la distance égal à la somme des valeurs absolues des différences des décimales de rang n divisée par n.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    martini_bird

    Re : Espace connexe dénombrable

    Merci de te pencher sur le problème.

    J'écris un rationnel sous la forme avec , et à partir d'un certain rang.

    La distance serait donc la somme . Le hic, c'est que n'est pas définie (à moins que j'ai loupé quelque chose). Ne faudrait-il pas mieux remplacer par (ou ) ?

    Citation Envoyé par Médiat
    j'ai la tête qui fume


    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par mmy
    Je pense qu'il faut imposer la topologie d'être Kolmogorov, sinon la notion de cardinal ne veut pas dire grand chose. (Ou est-ce que ça a quelque chose à voir avec la condition que les points soient fermés?)
    Oui, l'hypothèse que les points soient fermés est un peu plus forte que de demander à l'espace d'être Kolmogorov, mais c'était en effet l'idée pour avoir autre chose que la topologie grossière.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #6
    Médiat

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Le hic, c'est que n'est pas définie (à moins que j'ai loupé quelque chose).
    Of course ! En fait j'étais partie sur l'idée de suites à support fini et comme des ensembles de suites ne sont pas faciles à manipuler j'ai traduit maladroitement cela avec des décimales.

    Malheureusement, même en améliorant les choses, développement binaire par exemple, cela ne marche pas, le réel défini par doit couper cet ensemble en deux ouverts


    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Ne faudrait-il pas mieux remplacer par (ou ) ?
    Surtout pas l'idée est justement d'envoyer les réels pas dans l'ensemble très très loin.

    Cordialement.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    suite au fil de mmy, je me suis demandé s'il était possible qu'un espace soit dénombrable et connexe.
    on peut prendre l'ensemble N et comme ouverts les complémentaires des parties finies de N (plus l'ensemble vide!). Je crois que c'est ce qu'on appelle le filtre de Cauchy. Deux ouverts non vides ont une intersection non vide et il n'existe donc pas de partition par des ouverts non vides. Mais ce n'est évidemment pas métrisable.

  11. #8
    Médiat

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    on peut prendre l'ensemble N et comme ouverts les complémentaires des parties finies de N (plus l'ensemble vide!). Je crois que c'est ce qu'on appelle le filtre de Cauchy.
    Filtre de Fréchet plutôt
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    ou un chouïa plus simple: comme ouverts les sections finissantes de N. Mais bon, plus une topologie est petite, plus elle a de chances d'être connexe (moins on a de possibilités d'y trouver une partition ouverte).

  13. #10
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Filtre de Fréchet plutôt
    ah oui c'est vrai, mais alors c'est quoi le filtre de Cauchy? vieux souvenirs...

  14. #11
    Médiat

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    ah oui c'est vrai, mais alors c'est quoi le filtre de Cauchy? vieux souvenirs...
    Regarde là : http://www.ulg.ac.be/sectmath/schmet...node30_tf.html
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    G13

    Re : Espace connexe dénombrable

    Oui, il y a des espaces séparés dénombrables et connexes.
    Mais, ils ne sont pas compacts.
    (Si l'espace est compact, on peut prendre une fonction continue prenant plusieurs valeurs dont 0 et 1 mais pas toutes les valeurs entre 0 et 1( vu qu'il est denombrable) ,et donc séparer l'espace en deux ouverts.)
    Il y a des exemples dans le Bourbaki je crois.
    En voici, un que j'avais trouvé (je recopie le mail que j'avais envoyé à un prof de prépa qui m'avait dit que c'était correct).
    Malheureusement ce n'est pas trés compréhensible...

    Soit E0 l'ensemble des nombres reels entre 0 et 1
    > inclus tels que leur développement en base 4 se
    > termine par une suite infini de 0. exemple
    > 0,32120...0.....
    > On munit E0 de la topologie de [0,1]
    > Soit la relation d'équivalence: a0,a1a2a3...ak (ak<>0)
    > est en relation avec b0,b1b2...bk' (bk'<>0) ssi k=k'
    > et pour tout i<k, bi et ai appartiennent a {0,3} ou
    > bi et ai appartiennent à {1,2}.
    > Soit E l'espace topologique quotient de E0 par la
    > relation d'équivalence.
    > E est connexe.
    > Soit f une bijection de {(m,n) appartient à N^2 tel
    > que m<>n} dans N etoile - {1} telle que pour tout m,n
    > f(m,n)>m et f(m,n)>n.
    > Soit a=3/8 et b=1/8.Ces deux points sont séparés dans
    > E.
    > Soit g une bijection de N dans l'ensemble des suites
    > de E valant "a" à partir d'un certain rang.
    > On suppose g tel que rang (g(n))<=n.
    > Soit C le sous-ensemble de E^N muni de la topologie
    > produit constitué des suites "u" défini ci-dessous
    > lortsque i décrit N.
    > Soit l le rang de g(i).
    > On pose:
    > pour k<l, u(k)=g(i)(k)
    > pour tout j dans N, u(f(i,j))=b, u(f(j,i))=a
    > et u(k)=a partout ailleurs.
    > Je crois bien avoir démontré que C est séparé et
    > connexe.

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Mais, ils ne sont pas compacts.
    (Si l'espace est compact, on peut prendre une fonction continue prenant plusieurs valeurs dont 0 et 1 mais pas toutes les valeurs entre 0 et 1( vu qu'il est denombrable) ,et donc séparer l'espace en deux ouverts.)
    Cette phrase m'intrigue depuis le début. La question semble être: qu'est-ce qui permet de penser qu'une telle fonction continue existe?

    Cordialement,

  18. #14
    G13

    Re : Espace connexe dénombrable

    C'est le lemme de Urysohn.

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    C'est le lemme de Urysohn.
    A ce que j'en lis, c'est lié à la notion d'espace normal. Il y-a-t-il une hypothèse qui a été faite qui implique que l'on parle d'un espace normal? Dans la phrase originale il y a "si l'espace est compact, on peut...". Compact implique-t-il normal?

    Cordialement,

  20. #16
    G13

    Re : Espace connexe dénombrable

    Oui, compact implique normal.
    En effet, soit deux fermés disjoints A et B.
    On fait le demonstration en deux parties.
    D'abord on montre que pour tout y appartenant à B, il existe U ouvert contenant A, W ouvert contenant y tels que U et W disjoints.
    Pour cela on prend pour chaque x appartenant à A, un voisinage U_x de x et un voisinage W_x de y tels que U_x et W_x disjoints (vu que la topologie est séparée). Les U_x recouvrent A. Donc on peut en extraire un recouvrement fini (U_xi). Alors l'union U des U_xi est un ouvert contenant A et ne recontre pas l'intersection ouverte W des W_xi qui contient y.

    Pour la deuxieme partie, on raisonne de meme:
    Soit y appartenant à B, il existe V_y voisinage de y ne rencontrant pas U_y voisinage de A.
    Les V_y recouvrent B, donc on peut en extraire un recouvrement fini V_yi.
    L'union V des V_yi est un ouvert contenant B et ne rencontrant pas l'intersection U' des U_yi, ouvert contenant A.
    Donc l'espace est normal.

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Donc, si j'ai bien compris, compact, séparé et connexe suffit pour impliquer un cardinal soit égal à 1, soit au moins la puissance du continu?

    Ensuite, tout espace complètement régulier et T1 est compactifiable par l'ajout d'un point unique (dixit le site de Wolfram); si l'espace d'origine est connexe, cette compactification donne un résultat connexe, non? Donc on peut généraliser ce qui précède à ces espaces-là.

    En résumé (so far), en excluant le singleton:

    Compact (plus généralement normal), connexe, séparé (T2) => au moins puissance du continu

    Connexe, Tychonoff (T3 et demi) => au moins puissance du continu

    Y'a bon?

    Cordialement,

  22. #18
    G13

    Re : Espace connexe dénombrable

    Oui, c'est ca.
    Avec un espace localement compact, séparé, connexe, ca marche aussi.

  23. Publicité
  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    Bonsoir,

    Je vais poser ma question suivante ici...

    S1 (la sphère de dimension 1) est compacte, connexe et séparée. Elle a la puissance du continu. Elle a aussi la propriété d'être séparée en deux ouverts disjoints tous deux connexes par tout plongement de S0 (c'est-à-dire deux points distincts).

    Est-ce que la réciproque est démontrée, à savoir:

    Un espace topologique compact, connexe, séparé, non réduit à un singleton et de cardinal minimal, qui est séparé par tout plongement de S0 en deux ouverts disjoints tous deux connexes, est homéomorphe à S1.

    Ou au contraire y-a-t-il un contre-exemple? (A ma connaissance, aucune combinaison de lignes s'entrecoupant n'est un contre-exemple.)

    (Si cela est vrai, ça introduit R (comme S1-{x}), en tant qu'espace topologique (et non algébrique) à partir de propriétés purement topologiques ne référant pas à R, sans construction passant par l'algèbre.)

    (J'ai tenté de trouvé une démo, mais je ne suis pas à la hauteur. Il me semble qu'on peut construire l'ordre total sur S1-{x} à partir de la condition de séparation en deux ouverts par deux points distincts. Cela (si avéré) et la condition sur le cardinal, tel que discuté dans ce fil, semble conclure.)

    (On peut imaginer des variantes, pas nécessairement équivalentes, genre "E est séparé par tout plongement de S0 en deux parties chacune homéomorphe à E-{x}" -la contrepartie de l'équivalent du théorème d'Antoine pour la dimension 2. Le fond de ma question est de trouver un ensemble de conditions topologiques ne référant pas à R et "cernant" totalement S1.)

    Cordialement,

    Note: Je sais qu'on écrit S1, mais ça m'agace d'utiliser la même notation que R3 par exemple...

  25. #20
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    bonjour à tous,

    j'ai regardé par curiosité dans le Steen & Seebach, et il y a quelques exemples de topologies sur des ensembles dénombrables, qui sont connexes et séparées (=T2 = Hausdorff). La plus simple est appelée "topologie des nombres premiers". Elle est définie sur N par la base d'ouverts U(a,p)={a+Zp} où p est premier et ne divise pas a.

  26. #21
    martini_bird

    Re : Espace connexe dénombrable

    Salut,

    merci ambrosio pour ce beau contre-exemple ! Je n'imaginais pas qu'un connexe dénombrable pût être séparé. Décidemment la topologie est vraiment loin d'être intuitive !

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  27. #22
    invite986312212
    Invité

    Re : Espace connexe dénombrable

    mais la topologie elle-même n'est pas dénombrable. Une topologie dénombrable, connexe et séparée ça m'a l'air difficile au pif.

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